¿Qué tan cerca tiene que estar la luz para orbitar una esfera perfecta del tamaño y la masa de la Tierra?

Puede tomar la expresión newtoniana para la velocidad orbital en función del radio orbital y ver qué radio corresponde a una velocidad orbital de$c$, pero esto no es físicamente relevante porque debe tener en cuenta la relatividad general. Esto te da un radio orbital para la luz, aunque es una órbita inestable.

Si la masa de tu planeta es$M$entonces el radio de la órbita es:

dónde$G$es la constante de Newton . La masa de la Tierra es de aproximadamente$5.97 \times 10^{24}$kg, por lo que el radio en el que la luz orbitará será de aproximadamente$13$milímetro

Obviamente, esto es mucho menor que el radio de la Tierra, por lo que no hay órbita para la luz alrededor de la Tierra. Para que la luz orbite un objeto con la masa de la Tierra, tendrías que comprimirlo a un radio de menos de$13$milímetro Podría pensar que comprimir tanto la masa de la Tierra formaría un agujero negro, y estaría pensando en las líneas correctas. Si$r_M$es el radio de un agujero negro con una masa$M$entonces el radio de la órbita de la luz es$1.5 r_M$.

Entonces, solo puede hacer que la luz entre en órbita si tiene un objeto que es un agujero negro o está muy cerca de uno, pero en realidad es aún más difícil que eso. La órbita en$1.5r_M$es inestable, es decir, la más mínima desviación de una órbita exactamente circular hará que la luz vuele hacia el espacio o caiga en espiral hacia el objeto/agujero negro.

Si está interesado en obtener más información sobre esto, la luz que orbita alrededor de un agujero negro se llama esfera de fotones , y si busca en Google o esto encontrará muchos artículos sobre el tema.

Voy a proponer una respuesta alternativa. El título de la pregunta estipula que la esfera debe tener el mismo TAMAÑO y masa que la Tierra. La respuesta anterior de @ John Rennie supone que la Tierra se puede comprimir en una esfera infinitamente pequeña.

En este caso, no hay radio en el que la luz tenga una órbita cerrada. Como dijo @Keshlam, más cerca del centro, la mayor parte de la masa de la Tierra se distribuye por igual en todas las direcciones y las fuerzas gravitatorias sobre un objeto se cancelarán. Las fuerzas gravitatorias más fuertes están en algún lugar cerca de la superficie de la Tierra, y debería ser bastante obvio que la luz aquí no está atrapada por la gravedad.

¿No debería ser la respuesta simplemente el radio de Schwarzchild? Nada dentro y la luz no puede escapar. Cualquier cosa afuera y escapará si se apunta lejos del horizonte de eventos. Entonces parece que un rayo de luz justo en el radio de Schwarzchild orbitaría para siempre a esa distancia.

Hay una manera de hacer que un rayo de luz orbite alrededor de la Tierra, pero requeriría un material especial (probablemente aún no se haya fabricado). Necesitarías construir una barra de este material para dar la vuelta a la Tierra. Este material necesitaría transmitir luz sin absorberla (poco probable) y lo suficientemente denso como para tener un índice de refracción muy alto. Necesita reducir la velocidad de la luz para igualar la velocidad para orbitar la Tierra.

Como se dijo, la pregunta presupone que hay una distancia (desde la superficie de la esfera mencionada) que haría que un rayo de luz rodeara la esfera dada. Esta es una suposición falsa (o inválida) para cualquier respuesta "válida". Si se permite el uso de cable de fibra óptica, cualquier longitud de cable que rodee la esfera sería una respuesta. Si estamos interesados ​​en "doblar" el haz de luz (por la gravedad) para que tenga el mismo radio que la esfera mencionada, necesitaríamos algo como la masa/densidad de una estrella de neutrones, por lo que la masa/densidad de la tierra será no hacer Si se nos permite usar la masa de la tierra como "masa puntual" ( no se mantiene el radio), entonces obtenemos la respuesta (13 mm) ya proporcionada.