¿Qué tan bien encajan las órbitas planetarias con los sólidos platónicos in- y circunscritos de Johannes Kepler?

En Mysterium Cosmographicum (1596), Johannes Kepler propuso que las distancias relativas entre las órbitas de los seis planetas antiguos (seis porque el heliocentrismo había agregado recientemente a la Tierra como uno de los planetas) corresponden a la geometría de los cinco sólidos platónicos. Se asumió que cada órbita planetaria era el gran círculo de una esfera. Cada sólido platónico circunscribiría la esfera definida orbitalmente de un planeta interior, y en la misma posición inscribiría la "esfera orbital" del próximo planeta exterior.

  • ¿Qué tan bien encaja?
  • ¿Está matemáticamente relacionado de alguna manera con la igualmente espuria ley de Bode?
  • Agradecería algunas pistas o enlaces al cálculo geométrico en sí, para comparar con mi propio ejercicio tratando de resolver parte de él.

Johannes Kepler propuso este orden de hacer coincidir los planetas con los platónicos (supongo que porque este orden da el mejor ajuste):

Mercurio <-- planeta

octaedro <-- sólido platónico

Venus

icosaedro

Tierra

dodecaedro

Marte

tetraedro

Júpiter

cubo

Saturno

Respuestas (1)

Es bastante fácil hacer los cálculos, aquí se pueden encontrar fórmulas para los radios in y circum de los sólidos platónicos que dan proporciones de circ a in radios de (nótese que las fórmulas para los radios han eliminado el factor común de la longitud del lado, que no es necesario ya que estamos interesados ​​en las proporciones):

>ri4=sqrt(6)/12,rc4=sqrt(6)/4
     0.204124 
     0.612372 
>
>ri6=1/2,rc6=sqrt(3)/2
          0.5 
     0.866025 
>
>ri8=sqrt(6)/6,rc8=sqrt(2)/2
     0.408248 
     0.707107 
>
>ri12=sqrt(250+110*sqrt(5))/20,rc12=(sqrt(15)+sqrt(3))/4
      1.11352 
      1.40126 
>
>ri20=(3*sqrt(3)+sqrt(15))/12,rc20=sqrt(10+2*sqrt(5))/4
     0.755761 
     0.951057 
>
>rho4=rc4/ri4
            3 
>rho6=rc6/ri6
      1.73205 
>rho8=rc8/ri8
      1.73205 
>rho12=rc12/ri12
      1.25841 
>rho20=rc20/ri20
      1.25841

Que se puede comparar con las relaciones de radio orbital de aquí (radios en km)

>RMecury=57.9e6;
>RVenus=108.2e6;
>REarth=149.6e6;
>RMars=227.9e6;
>RJupiter=778.3e6;
>RSaturn=1426.7e6;

Ahora podemos comparar las proporciones de los radios correspondientes:

>[RVenus/RMecury,rho8]
      1.86874       1.73205 
>[REarth/RVenus,rho20]
      1.38262       1.25841 
>[RMars/REarth,rho12]
       1.5234       1.25841 
>[RJupiter/RMars,rho4]
      3.41509             3 
>[RSaturn/RJupiter,rho6]
       1.8331       1.73205

Lo cual, como van estas cosas, no está mal.

Creo que al final escribiste el valor de rho20 en lugar de rho12, que debería ser 1,4725 (para compararlo con el verdadero 1,5234). Entonces, los errores fueron del 3% al 12%, esa es una buena suposición sin cosas como la física o los telescopios. Pero no fue de gran ayuda para su trabajo posterior que se ajusta mejor a las órbitas planetarias más excéntricas.
Me gustaría ver sus cálculos, ya que repetir los míos usando un método independiente da el mismo resultado que la publicación principal, desafortunadamente este no es un medio adecuado para resolver tal desacuerdo numérico.
Uso tus cálculos. Mira tu último cuadro, copiaste/pegaste 1.25841 dos veces. rho12 debería ser 1,40126 a medida que escribe más arriba.
No, no copié y pasé el mismo valor dos veces, eso es lo que dio el cálculo para rho12. También he repetido el cálculo de rho12 usando Maxima y ambas fórmulas de la referencia anterior y de aquí y obtuve el mismo resultado. (Estoy bastante preparado para creer que hay un error aritmético en alguna parte, ya que esa es la naturaleza de la bestia, pero no puedo reproducir el que estás informando)
De hecho, rho12 y rho20 no difieren hasta el sexto decimal. Lo siento por mi confusión.
¿Qué tan bien encajan las órbitas planetarias con los sólidos platónicos in- y circunscritos de Johannes Kepler?
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