¿Qué solución a la ecuación de ondas electromagnéticas es el modelo más preciso de luz monocromática?

¿Hay experimentos que puedan mostrar que las ondas de luz se parecen más a las ondas cuadradas que a las ondas sinusoidales? ¿Hay experimentos que puedan mostrar que las ondas de luz se parecen más a las ondas cuadradas que a las ondas sinusoidales?

Mirando temporalmente su ejemplo de una onda cuadrada, una onda cuadrada de número de onda espacial$k$se puede representar en una expansión de Fourier como una superposición de ondas sinusoidales con números de onda espaciales$k,3k,5k...$etc. Suponiendo que estamos haciendo nuestras mediciones en un medio que tiene una respuesta lineal a los campos (que se cumple en la mayoría de los materiales para campos con densidades de potencia$\ll10^8\mathrm{V/m}$, que prácticamente todos los experimentos de óptica satisfacen), se cumple el principio de superposición y, por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos examinar el efecto de un aparato experimental en cada función de base individual y luego sumar los resultados.

Se sabe que las ondas sinusoidales individuales se difractarán desde una rejilla de difracción en ángulos bien definidos, que es como funcionan los monocromadores. Entonces, si tuviéramos una fuente de onda cuadrada, veríamos múltiples armónicos divididos por la rejilla. Alternativamente, podríamos usar un prisma. En cualquier caso, si la luz (cuasi) monocromática fuera realmente una onda cuadrada, podrías ver los armónicos, pero no los ves.

(De un comentario): Usted dice "Se sabe que las ondas sinusoidales individuales se difractarán de una rejilla de difracción en ángulos bien definidos", pero ¿cómo sabemos eso? Las ondas individuales se difractarán desde una rejilla de difracción en ángulos bien definidos, pero ¿cómo sabemos que son ondas sinusoidales?

No es del todo correcto decir que "las ondas individuales se difractarán desde una rejilla de difracción en ángulos bien definidos" en el sentido de que el patrón de difracción tomará la forma de una "valla de estacas" de picos únicos. Lea cualquier texto de introducción a la óptica y verá ejemplos (como difracción de rendijas múltiples y rejillas de difracción) donde asumen temporalmente que el campo eléctrico toma la forma de sinusoides , y luego muestran que las ondas sinusoides se difractan en múltiplos enteros de un angulo. El razonamiento no se aplica necesariamente a ondas arbitrarias (pero debido a la linealidad, las ondas arbitrarias pueden manejarse mediante la descomposición de Fourier).

(De un comentario): Además, ¿no podríamos representar una onda sinusoidal como una superposición infinita de ondas cuadradas también? ¿O al menos como una superposición de funciones periódicas que no son seno ni coseno? En cuyo caso, según su razonamiento, podríamos ver los armónicos incluso con una onda sinusoidal.

Si bien es tentador usar el razonamiento verbal para llegar a conclusiones en física, realmente tienes que hacer cálculos matemáticos para asegurarte de que tus palabras sean correctas. Tiene razón al decir que no es necesaria una descomposición en términos de senos; por linealidad, podemos calcular la física usando cualquier base periódica que queramos, como ondas cuadradas, y debido a la linealidad, el resultado final siempre será el mismo.

Para ilustrar esto, veamos qué sucede exactamente cuando intentamos difractar una onda sinusoidal y una onda cuadrada en una configuración de múltiples rendijas con 61 rendijas. Deja el$k$la rendija esté situada a una altura$kd$dónde$d$es el espacio entre rendijas, y deje que la pantalla se ubique a una distancia$R$de las rendijas. En un lugar de altura$y$en la pantalla, la distancia entre el$k$th hendidura y la ubicación es

$$d(k,y)=\sqrt{R^2+(y-kd)^2}\approx \sqrt{d^2 k^2+R^2}-\frac{d k y}{\sqrt{d^2 k^2+R^2}}$$ y para una onda sinusoidal incidente, la amplitud del campo que golpea el punto se convierte en $$E(k,y)\propto\exp\left(\frac{2\pi i d(k,y)}{\lambda}\right)$$ y entonces la intensidad de la luz en ese punto se vuelve $$I(y)=\left|\sum_{k=-30}^{30}E(k,y)\right|^2$$ que básicamente se parece a esto:

expr = Sum[
   Exp[2 \[Pi] I (Sqrt[d^2 k^2 + R^2] - (d k y)/Sqrt[
        d^2 k^2 + R^2])/\[Lambda]], {k, -30, 30}];
Plot[Abs[expr /. {R -> 1, \[Lambda] -> 0.0000025, 
    d -> 0.00002}], {y, -0.3, 0.3}, PlotRange -> All, 
 PlotPoints -> 60, ImageSize -> 900, AspectRatio -> 0.3]

Mientras tanto, podemos hacer exactamente lo mismo con un haz de onda cuadrada golpeando las rendijas. Tenemos

$$E(k,y)\propto\mathrm{SquareWave}\left(\frac{d(k,y)}{\lambda}\right)$$ y nuevamente la intensidad de la luz en ese punto se vuelve $$I(y)=\left|\sum_{k=-30}^{30}E(k,y)\right|^2$$ que básicamente se parece a esto:

expr = Sum[
   SquareWave[(Sqrt[d^2 k^2 + R^2] - (d k y)/Sqrt[
       d^2 k^2 + R^2])/\[Lambda]], {k, -30, 30}];
ListLinePlot[
 Table[Abs[
   expr /. {R -> 1, \[Lambda] -> 0.0000025, d -> 0.00002}], {y, -0.3, 
   0.3, 0.00005}], PlotRange -> All, AspectRatio -> 0.3, 
 ImageSize -> 900]

Observe que además de los picos principales, hay picos de banda lateral más pequeños con espaciamientos que tienen espaciamientos que son factores de$1,3,5,7,...$veces menor que la de la secuencia fundamental. Estos son los armónicos que mencioné anteriormente, que como mencioné antes se pueden derivar considerando la descomposición de la onda cuadrada en una base sinusoidal.

Sin embargo, tenga en cuenta que en ninguna parte del código anterior utilizado para generar la imagen usé ondas sinusoidales. Se basó completamente en una suma de onda cuadrada directa. Esta es una buena ilustración del hecho de que la elección de la base que elija para representar la física lineal es irrelevante.

Entonces, mi mejor entendimiento:

La solución básica de la ecuación de onda es

$$\Psi(x,t)=Ae^{ikx-i\omega t}$$ Donde los signos son arbitrarios. Si combina esto con la vieja y buena fórmula de Euler, esto se expande a $$\Psi(x,t)=A\cos(kx-\omega t)+B\sin(kx-\omega t)$$ Donde la parte imaginaria es absorbida por esa B