¿Por qué una onda de luz se invierte en un límite con mayor índice de refracción?

La razón no es tan intuitiva como para las cuerdas, pero es esencialmente hacer que los campos sean consistentes con las condiciones de contorno electromagnéticas, que a su vez se pueden atribuir a (1) la ley de voltaje de Kirchoff y (2) no pueden fluir corrientes de conducción en un dieléctrico

Considere un bucle rectangular pequeño y delgado que corre paralelo a la interfaz con una mitad justo dentro de un medio y la otra mitad justo dentro del otro. El total$\oint \vec{E}\cdot \,{\rm d} \vec{r}$alrededor del bucle debe ser cero (ley de voltaje de Kirchoff): en este caso, esto se puede ver aplicando la ley de Faraday al bucle: debido a que es muy delgado, no hay flujo magnético a través de él. Entonces:

Las componentes tangenciales del vector de campo eléctrico deben ser continuas a través de un límite dieléctrico

Razonando de la misma manera con la ley de Ampère obtenemos (porque no hay corriente de lámina superficial para un dieléctrico no conductor, por lo tanto, no hay flujo de conducción o corriente de desplazamiento a través de un bucle delgado):

Las componentes tangenciales del vector del campo magnético deben ser continuas a través de un límite dieléctrico

Condiciones similares, que se pueden inferir de las dos leyes de Gauss aplicadas a un pequeño volumen cilíndrico con sus extremos a ambos lados de la interfaz, son que las componentes normales del desplazamiento$\vec{D}$e inducción$\vec{B}$también debe ser continuo, pero no los necesitamos para este ejemplo simple.

Entonces, considere una onda plana que se encuentra con la interfaz y se propaga normal a la interfaz. Hay tres ondas planas: las ondas incidente, reflejada y transmitida y las condiciones de continuidad anteriores aseguran que el campo eléctrico de todas estas sea en la misma dirección. Dado que las ondas planas tienen sus campos magnéticos ortogonales a los campos eléctricos, todos los campos magnéticos deben tener la misma dirección, ortogonales al campo eléctrico incidente. Si$E_+$,$E_-$y$E_t$son las ondas incidente, reflejada y pasante, entonces la primera condición de continuidad es:

$$E_+ + E_- = E_t\qquad(1)$$

Ahora hacemos lo mismo para los campos magnéticos, pero tengamos cuidado de que el campo magnético$H_-$será en dirección opuesta a la incidente, porque el vector de Poynting (dirección de propagación) de la onda reflejada es hacia atrás, así:

$$H_+ - H_i = H_t\qquad(2)$$

Ahora ponemos las relaciones que definen los medios:$H_\pm = \sqrt{\frac{\epsilon_1}{\mu_1}} E_\pm = \frac{n_1}{c} H_pm$y$H_t=\frac{n_2}{c} E_t$y entonces:

$$\left(\begin{array}{cc}1&-1\\\frac{n_2}{c}&\frac{n_1}{c}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}E_t\\E_-\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\\frac{n_1}{c}\end{array}\right) E_+$$

que, por inversión de la matriz, da los coeficientes de reflexión y transmisión, en particular:

$$\frac{E_-}{E_+} = \frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}$$

que es negativo siempre que$n_2 > n_1$es decir, cuando la onda cruza a un medio ópticamente más denso.