Intensidad en θ=0θ=0\theta = 0 en difracción de rendija

Un poco de información: como se indica en sus notas, esta ecuación se obtiene utilizando la fórmula de difracción de Fraunhofer (que es una aproximación a la fórmula más general de Rayleigh-Sommerfeld). Según la integral de difracción de Fraunhofer, dada la función de transmitancia de la pantalla difractiva:

$$U(x',y')=\cases{1\quad\quad\text{on the aperture}\\0\quad \quad\quad \text{otherwise}}$$

el campo difractado observado en un plano situado a una distancia$z$de la pantalla seria

$$U_O(x,y) = \frac{e^{jkz}e^{j\frac{k}{2z}(x^2+y^2)}}{j\lambda z}\mathcal F\{U_{inc}(x',y')\}|_{(f_x,f_y) }$$ que es solo la transformada de Fourier de la función de transmitancia, $\mathcal F\{U(x',y')\}$, calculado a las frecuencias $(f_x,f_y)=(\dfrac{x}{\lambda z},\dfrac{y}{\lambda z})$, multiplicado por algún factor. Por lo tanto, dentro del alcance de la validez de la aproximación de Fraunhofer (o de campo lejano), solo tiene que transformar la función de transmitancia de Fourier para encontrar el patrón de difracción.

                                

En su problema , tenemos una sola rendija con un ancho de$w_x$iluminada por una onda plana normalmente incidente con amplitud A e intensidad$A^2$. Por lo tanto, la función de transmitancia sería una función rectangular $\mathrm {rect}(\dfrac{x'}{w_x})$. buscando su transformada de Fourier en alguna tabla , encontramos el campo difractado usando la fórmula anterior:

$$U(x) = A\frac{e^{jkz}e^{j\frac{k}{2z}x^2}}{j\lambda z}\times w_x\mathrm {sinc}(\frac{w_xx}{\lambda z})$$ y para la intensidad: $$\boxed{I(x)=|U(x)|^2=A^2\frac{w_x^2}{\lambda ^2 z^2}\mathrm {sinc}^2(\frac{w_xx}{\lambda z})}$$

dónde$\mathrm {sinc}(x) = \frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$. Esta es esencialmente la misma fórmula en su pregunta, porque en la aproximación de Fraunhofer puede usar$\sin\theta\approx \tan \theta= \dfrac{x}{z}$.

Por lo tanto,$I_0$en tu pregunta seria$A^2\dfrac{w_x^2}{\lambda ^2 z^2}$.