Fondo rápido

La velocidad de fase ,$\mathbf{V}_{ph}$, no es solo$\omega/k$, es en realidad la parte real de esta relación, o$\Re\left[\omega/k\right]$, ya que tanto la frecuencia como el número de onda pueden ser, en general, complejos.

De manera similar, la velocidad de grupo se define como:

$$\mathbf{V}_{g} = \frac{ \partial \Re\left[ \omega \right] }{ \partial k }$$

Frecuencia de corte

Hay otra forma de pensar en la frecuencia de corte que simplemente$V_{ph} \sim \infty$, que en realidad es más o menos lo contrario de cómo deberías pensar al respecto.

La forma más adecuada de entender la frecuencia de corte es pensar en una onda que se propaga de un medio a otro con un índice de refracción diferente . Si el nuevo medio presenta un escenario en el que la onda incidente experimentaría un corte, es otra forma de decir que la onda incidente necesitaría una velocidad de fase infinita para propagarse en ese medio. Debido a que una velocidad de fase infinita es físicamente imposible, la onda no existe en el segundo medio.

Un ejemplo real que se observa en un plasma es cuando una onda de Langmuir queda atrapada en un pozo de densidad (creada por la presión ponderomotriz de la onda o propagada en ella).

Quizás un concepto más fácil de entender es una onda evanescente , que es un concepto similar excepto que la amplitud decae lentamente con la distancia en el segundo medio en lugar de no existir en absoluto.

Aquí tengo otra respuesta sobre las condiciones de contorno que muestra más matemáticas y ejemplos, usando cadenas.

Frecuencia de resonancia

Esto es un poco más difícil de conceptualizar. No es realmente que la velocidad de fase de una onda tienda a cero en la resonancia, tanto como la tasa de crecimiento,$\gamma \equiv \Im\left[ \omega \right]$, de la amplitud comienza a exceder ampliamente la frecuencia de la onda,$\omega_{r} \equiv \Re\left[ \omega \right]$, o$\gamma \gg \omega_{r}$. La razón por la que digo esto es que en un plasma, una onda electromagnética puede estar en resonancia con alguna población de partículas cargadas. Esto no significa que la ola de repente haya$V_{ph} = 0$porque resuena con esas partículas.

Explicación más detallada (matemáticas)

Por ejemplo, suponga que la fuente de energía libre (p. ej., consulte Energía libre de Gibbs ) que está resonando con un modo normal del sistema resulta ser un haz de partículas (p. ej., haces alineados con el campo discutidos en el documento arXiv 1207.5561 ). Si este es el caso, entonces la teoría del crecimiento lineal muestra que el parámetro que determina la interacción entre las ondas y las partículas está dado por:

$$\zeta_{s}^{n} = \frac{ \omega_{r} - \mathbf{k} \cdot \mathbf{V}_{os} + n \ \Omega_{cs} }{ k \ V_{Ts} }$$ dónde $\mathbf{V}_{os}$es la velocidad del haz en relación con el marco de reposo de flujo a granel de las especies $s$, $\Omega_{cs}$es la frecuencia del ciclotrón de las especies $s$, $\mathbf{V}_{os}$es la velocidad térmica de las especies $s$, $n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3,$etc, y $s$puede ser $e$(electrones) o $i$(iones).

Se dice que un modo es resonante con el haz de partículas cuando$\lvert \zeta_{s}^{n} \rvert \leq 1$y no resonante cuando$\lvert \zeta_{s}^{n} \rvert \gg 1$. El caso resonante es otra forma de decir que el término en el numerador va un valor menor que el denominador, o:

$$\left( \omega_{r} - \mathbf{k} \cdot \mathbf{V}_{os} + n \ \Omega_{cs} \right) \leq \left( k \ V_{Ts} \right)$$

En el "mejor" caso, la onda es completamente resonante con las partículas cuando:

$$\left( \omega_{r} - \mathbf{k} \cdot \mathbf{V}_{os} + n \ \Omega_{cs} \right) \rightarrow 0$$

Entonces puedes ver eso$V_{ph}$todavía puede ser finito cuando las ondas están en resonancia con las partículas, razón por la cual argumenté que la resonancia no implica necesariamente$V_{ph} = 0$.

Nota al margen divertida

Es posible que una onda tenga$V_{ph} = 0$y$V_{g} \neq 0$, que a veces se denominan modos puramente crecientes ya que$V_{ph} = 0$a menudo implica que$\Re\left[ \omega \right] = 0$, pero no significa necesariamente que$\Im\left[ \omega \right] = 0$.

La longitud de onda "infinita" solo significa que la solución no depende de la posición sino solo del tiempo.

Una solución ondulatoria tiene la expresión

$sin(kx-\omega t)$

$k$es el vector de onda, y la longitud de onda es$L=2\pi/k$

Si la onda depende del tiempo pero no del espacio (lo que bien podría suceder, ¿por qué no?)

$sin(-\omega t)$

y esto es justo lo que sucede en la frecuencia de corte, entonces$k$es cero y la longitud de onda es infinita. Pero la longitud de onda no puede ser cero, porque eso significaría que el vector de onda$k$debería ser infinito pero entonces la expresión

$sin(kx-\omega t)$

no tendría sentido.