¿Por qué la velocidad de grupo de una onda EM de plasma no es igual a la velocidad de fase aquí?

Para las ondas EM de plasma tenemos la relación de dispersión

$$\omega^2=\omega_p^2+c^2k^2$$ donde la frecuencia del plasma $$\omega_p^2=\frac{n_e e^2}{\epsilon_0 m_e}$$ Uno puede demostrar que $v_p v_g=c^2$, es decir, el producto de las velocidades de fase y grupo es la velocidad de la luz al cuadrado (ver edición en la parte inferior).

La densidad crítica es cuando

$$\omega^2=\frac{n_{crit} e^2}{\epsilon_0 m_e}$$ $$\Rightarrow \frac{\omega_p}{\omega}=\sqrt{\frac{n_e}{n_{crit}}}$$ Luego subiendo a la relación de dispersión $$\omega^2=\frac{n_e}{n_{crit}}\omega^2+c^2k^2$$ $$\Rightarrow \omega^2(1-\frac{n_e}{n_{crit}})=c^2k^2$$ $$\Rightarrow v_p=\frac{\omega}{k}=c \left(1-\frac{n_e}{n_{crit}}\right)^{-1/2}$$ es la velocidad de fase. La velocidad del grupo es $\frac{d\omega}{dk}$, por lo que cabría esperar $v_g=v_p$aquí como $\omega$parece lineal en $k$. pero usando $v_g=c^2/v_p$, obtenemos $$v_g=c\left(1-\frac{n_e}{n_{crit}}\right)^{1/2}$$ en cambio. Entonces, ¿por qué la velocidad de grupo no es igual a la velocidad de fase?

Editar

Solo para mostrar que$v_p v_g=c^2$

$$\omega=\left(\omega_p^2+c^2 k^2\right)^{1/2}$$ $$\Rightarrow \frac{\omega}{k}=\left(\frac{\omega_p^2}{k^2}+c^2\right)^{1/2}$$ $$\frac{d\omega}{dk}=\frac{1}{2}\left(\omega_p^2+c^2 k^2\right)^{-1/2}2c^2 k$$ $$=c^2\left(\frac{\omega_p^2}{k^2}+c^2\right)^{-1/2}$$ De este modo $\frac{\omega}{k}\frac{d\omega}{dk}=c^2$