Considere las partículas que interactúan solo por fuerzas de largo alcance (ley del cuadrado inverso), ya sea atractivas o repulsivas. Me siento cómodo con la idea de que su comportamiento puede describirse mediante la ecuación de Boltzmann sin colisiones, y que en ese caso la entropía, definida por la integral del espacio de fase , no aumentará con el tiempo. Toda la información sobre la configuración inicial de las partículas se retiene a medida que el sistema evoluciona con el tiempo, aunque cada vez es más difícil para un observador realizar mediciones para sondear esa información (amortiguación de Landau).
Pero después de un tiempo lo suficientemente largo, la mayoría de los sistemas físicos se relajan a una distribución de velocidad Maxwelliana. La entropía del sistema aumentará para que se produzca esta relajación. Los libros de texto tienden a explicar esta relajación a través de un término de colisión en la ecuación de Boltzmann ("las colisiones aumentan la entropía"). Se hace un comentario de pasada de que se está haciendo una suposición de 'caos molecular', oa veces 'caos molecular unilateral'. Mi pregunta es, ¿cómo difieren las colisiones que subyacen al término agregado en la ecuación de Boltzmann de cualquier colisión bajo una ley del cuadrado inverso, y por qué estas colisiones aumentan la entropía cuando está claro que las interacciones con una fuerza de la ley del cuadrado inverso generalmente no aumentan? entropía (¿al menos en la escala de tiempo del amortiguamiento de Landau?) Y finalmente, ¿qué tan válida es la suposición del llamado caos molecular?
EDITAR: Debo aclarar que, si la entropía va a aumentar, entonces probablemente sea necesario invocar fuerzas adicionales de corto alcance además de las fuerzas de la ley del cuadrado inverso de largo alcance. Supongo que podría reformular mi pregunta como "¿qué tipo de fuerzas de corto alcance son necesarias para explicar el término de colisión en la ecuación de Boltzmann y cómo aumentan la entropía cuando las colisiones de la ley del inverso del cuadrado no lo hacen?" Si la pregunta es demasiado abstracta como está escrita, siéntase libre de elegir un sistema físico concreto, como un plasma o una galaxia, y responda la pregunta en términos de lo que sucede allí.
La afirmación de que la entropía aumenta debido a las colisiones es incorrecta. La conservación del volumen del espacio de fase es un teorema de la mecánica hamiltoniana y, por lo tanto, se aplica a todos los sistemas físicos conocidos, independientemente de si contienen fuerzas no lineales, colisiones o cualquier otra cosa.
Lo que realmente sucede es que aunque el volumen del espacio de fase no cambia a medida que integras las trayectorias hacia adelante, se distorsiona, se aplasta y se pliega sobre sí mismo hasta que el sistema se vuelve experimentalmente indistinguible de uno con un volumen de espacio de fase mayor. La información que estaba originalmente en la distribución de velocidad de las partículas termina en sutiles correlaciones entre los movimientos de las partículas, y si ignoras esas correlaciones, ahí es cuando obtienes la distribución de Maxwell. El aumento de entropía no es algo que ocurra a nivel de la dinámica microscópica del sistema; en cambio, ocurre porque parte de la información que tenemos sobre las condiciones iniciales del sistema se vuelve irrelevante para hacer predicciones futuras, por lo que elegimos ignorarla.
Hay un pasaje excelente sobre esto (en un contexto ligeramente diferente) en este artículo de Edwin Jaynes, que ofrece una crítica exhaustiva del tipo de explicación de libro de texto que mencionas. (Consulte las secciones 4, 5 y 6). Explica los problemas involucrados en esto de manera mucho más elocuente que yo, por lo que le recomiendo que le eche un vistazo.
El aumento de entropía proviene de la suposición de que puede cerrar el sistema en el nivel cinético, por lo tanto (i) haciendo que la dinámica sea manejable y obteniendo una ecuación de transporte, y (ii) ignorando las contribuciones de frecuencia extremadamente alta y pagando esto con un aumento de entropía.
Cualquier interacción conduce a términos de colisión; los detalles solo importan para la forma particular de la integral de colisión pero no para su existencia.
Hay diferentes formas de obtener la ecuación de Boltzmann, pero todas comparten las características anteriores. La suposición del caos molecular funciona solo para los gases ideales clásicos. Para una derivación moderna de las ecuaciones cinéticas y, en particular, la ecuación de Boltzmann a partir de los principios fundamentales (es decir, la teoría cuántica de campos), consulte
Yu. B. Ivanov, J. Knoll y DN Voskresensky, Aproximaciones autoconsistentes a la teoría de muchos cuerpos sin equilibrio, Nucl. física A 657 (1999), 413-445. hep-ph/9807351
y papeles relacionados. Véase también Buena lectura sobre el formalismo de Keldysh
Editar: en un formalismo basado en operadores, la aproximación cinética obliga a la matriz de densidad a tomar la forma , dónde es un operador de 1 partícula. Esto elimina muchas (no todas) contribuciones de alta frecuencia, ya que la dinámica exacta destruye esta forma, por lo que la aproximación debe proyectarla instantáneamente. Para comprender cómo funciona la proyección, consulte el libro de Grabert sobre técnicas de operadores de proyección.
Calzetta hizo algunos trabajos sobre teoría cinética en espacios curvos (busque en arXiv: http://lanl.arxiv.org ); tal vez esto esté más directamente relacionado con tu pregunta.
Timtam
kleingordon