¿Qué principio físico determina los microestados en la mecánica cuántica?

Si queremos calcular la magnetización media de un sistema de dos niveles en equilibrio, sabemos que podemos resolver la identidad 1 = ∑ i | mi i ⟩ ⟨ mi i | y dándonos una medida uniforme sobre los estados del sistema.

Luego recuerdo mi clásico stat mech, empujo algunos factores de Boltzmann y obtengo el estado de gibbs

ρ = Z − 1 ∑ i mi − β mi i | mi i ⟩ ⟨ mi i |
y puede calcular la magnetización media, para un sistema de dos niveles con mi 0 = − B / 2 y mi 1 = B / 2 entonces obtenemos ⟨ metro ⟩ = T r [ σ z ρ ] / 2 = bronceado ⁡ ( β B / 2 ) / 2 . Todo parece muy bueno.

Sin embargo, si ignoraba este resultado, también podría decir que puedo escribir un estado

| ψ ⟩ = porque ⁡ θ 2 | 0 ⟩ + mi i ϕ pecado ⁡ θ 2 | 1 ⟩
que tiene energía ⟨ ψ | H | ψ ⟩ = − B porque ⁡ θ / 2 .

Entonces, como puedo escribir una medida sobre mis estados

1 = 1 2 ∬ pecado ⁡ θ d ϕ d θ | ψ ⟩ ⟨ ψ |
También puedo construir algún tipo de estado de Gibbs ponderándolos todos por un factor de Boltzmann, esto da
ρ = 1 2 Z ∬ pecado ⁡ θ d ϕ d θ mi β B porque ⁡ θ / 2 | ψ ⟩ ⟨ ψ |
Sin embargo, esto produce ⟨ metro ⟩ = T r [ σ z ρ ] / 2 = bata ⁡ ( β B / 2 ) / 2 − 1 / ( β B ) , el resultado clásico.

Mi pregunta es: ¿Existe un principio físico simple al que pueda señalar para determinar el proceso correcto (uno que sea más satisfactorio que simplemente observar que uno de estos enfoques funciona y el otro obtiene una respuesta diferente)?

O es cuestión de aceptar ρ = Exp ⁡ ( − β H ) / Z como la definición de equilibrio térmico? (¿y por lo tanto la entropía de von Neumann como la entropía correcta?)

Respuestas (1)

El equilibrio sólo puede definirse axiomáticamente. Para ser consistente con la termodinámica tradicional, tiene que ser descrita por una matriz de densidad de la forma mi − β S con un operador S que consta de cantidades conservadas globalmente, en el caso más simple solo el hamiltoniano más una constante (convencionalmente absorbida en Z ). Por lo tanto, el equilibrio térmico siempre se define a través de un estado de Gibbs; para las condiciones de contorno correspondientes a un conjunto canónico por ρ=exp(−βH)/Z. En particular, un estado térmico siempre viene dado por un operador de densidad. Es imposible refinar la descripción: la descripción de libro de texto de un operador de densidad como una mezcla de estados puros es ficticia y está muy lejos de ser única.

Si un sistema está aproximadamente en estado puro, está muy lejos del equilibrio o está aproximadamente en el estado fundamental a una temperatura que corresponde a una energía significativamente menor que la brecha de energía entre el estado fundamental y el primer estado excitado (de modo que solo el estado fundamental contribuye significativamente al conjunto canónico).

Por ejemplo, este último es el caso de la parte electrónica de una molécula en los casos en que es aplicable la aproximación de Born-Oppenheimer. (Este último falla cuando la brecha de energía se vuelve demasiado pequeña).

Hola, muchas gracias por tu respuesta. Sin embargo, tengo una pregunta: ¿Tengo razón al entender que estamos adoptando un enfoque axiomático para definir ρ , y tomando este nuestro punto de partida? Esto me parece insatisfactorio porque pensé que la prescripción habitual de los sistemas abiertos era de (sistema) + (entorno) y era asumir que el estado global es puro. Esto implicaría que el estado de equilibrio del sistema debe, como mínimo, ser consistente con la hipótesis de termalización del estado propio, y no algo que podamos elegir libremente.
Su respuesta es consistente con ETH, por supuesto, pero esto me parece implicar que debería derivarse en algún sentido, en lugar de elegirse.
@ComptonScattering: el equilibrio solo se puede definir axiomáticamente. Para ser consistente con la termodinámica tradicional, tiene que ser descrita por una matriz de densidad de la forma mi − β S con un operador S que consta de cantidades conservadas globalmente, en el caso más simple solo el hamiltoniano.
Incluso cuando se asume que el estado global es puro (lo que se hace a menudo, aunque nunca se puede verificar si realmente es así), la eliminación del entorno produce una matriz de densidad para el estado del subsistema considerado.
Para los sistemas diminutos, la gente también observa la termodinámica no tradicional (Tsallis), donde el exponencial se reemplaza por una función diferente. Pero incluso entonces el equilibrio se describe como un estado puro.
Para el proceso de termalización, consulte, por ejemplo, arxiv.org/pdf/hep-ph/0409233.pdf Nuevamente, todo está formulado en términos de operadores de densidad, no de funciones de onda. Las funciones de onda son apropiadas solo para sistemas diminutos (ya pocas ópticas de fotones funcionan en escenarios más realistas con operadores de densidad) o para sistemas electrónicos en química cuántica (cuando la brecha espectral es grande).
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