¿Qué es la energía gravitatoria en la relatividad general?

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Esta respuesta generó cierta controversia, que creo que proviene del hecho de que no definí correctamente lo que quiero decir con energía. En este post, siempre que digo energía me refiero a la definición canónica/Hilbert del tensor energía-momentum, es decir, la derivada funcional del Lagrangiano con respecto a la métrica. En GR, esta es la energía que importa, porque entra directamente en la EFE.

Tenga en cuenta que esta definición, en principio, no tiene nada que ver con la interpretación clásica de la energía (= trabajo), que se conserva a lo largo de las trayectorias de las partículas puntuales. En GR no nos preocupamos por esta última energía, porque no se conserva en general (se necesitan algunos campos de muerte para existir, pero OP nos pidió que no mencionáramos los campos de muerte).

Finalmente, en un análisis semiclásico de GR podemos definir algún tipo de energía potencial (por ejemplo,$2\phi(r)\sim 1+g_{00}(r)$), que se comporta como la interpretación clásica de energía(=trabajo). Pero este análisis semi-cassical, donde se mezclan conceptos newtonianos y GR, solo se puede usar para campos débiles o altamente simétricos.

Con esto en mente, tenga en cuenta que puede tener cuerpos acelerando/desacelerando debido a la acción de la gravedad. Esto no contradice el hecho de que la energía gravitacional no existe: cuando decimos que la energía se conserva en GR, queremos decir$\nabla T=0$, pero esta energía es la energía canónica/de Hilbert, ¡no la energía cinética+potencial de los cuerpos! Si desea hablar sobre la energía cinética + potencial de un cuerpo de prueba, ¡tarde o temprano necesitará Killing!

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Primera pregunta

¿Por qué el EMT debería incluso contener energía gravitacional? ¿No sería esta energía proporcional a la curvatura? Esta energía volvería a causar una curvatura adicional que a su vez aumentaría la gravedad. energía que aumentaría de nuevo la curvatura, etc.

Las ecuaciones de campo de Einstein le dicen cómo se relaciona la curvatura con la energía:

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=T_{\mu\nu}$$ (donde uso unidades naturales $c=8\pi G=1$)

El lhs es una medida de curvatura, mientras que el rhs es una medida de la energía del sistema. Una vez que conozca el rhs, puede resolver estos PDE para encontrar la métrica (lhs).

Algunos ejemplos:

• Probablemente sepa por el electromagnetismo clásico que el campo electromagnético transporta energía (algo así como$\boldsymbol E^2+\boldsymbol B^2$debe parecer familiar). En notación tensorial, la energía se escribe

  $$T^{\mu\nu}=F^{\mu\alpha}F^\nu_\alpha-\frac{1}{4}g^{\mu\nu}F^2$$ dónde$F$es el tensor de fuerza electromagnética (nótese que$T^{00}\propto \boldsymbol E^2+\boldsymbol B^2$).

• Si tiene alguna materia que pueda modelar como un fluido perfecto (por ejemplo, viscosidad despreciable), entonces la fórmula para la energía está dada por

  $$T^{\mu\nu}=(\rho+p)u^\mu u^\nu+p g^{\mu\nu}$$ dónde$\rho,p$son la densidad de masa y la presión del fluido, y$u$su velocidad.

• Etc

Cualquier cosa que esté presente en el sistema genera gravedad, por lo que debes incluir su energía en el EFE:$T^{\mu\nu}=T_1^{\mu\nu}+T_2^{\mu\nu}+\cdots$, donde cada$T_i^{\mu\nu}$es una fuente de energía diferente. Pero no incluimos un término$\boldsymbol{T_i^{\mu\nu}}$para curvatura: la gravedad no tiene tensor de energía :

$$\text{r.h.s}=T_\text{EM}+T_\text{matter}+T_\text{quantum?}+\cdots+ \overbrace{ T_\text{gravity}}^{\text{NO!}}$$

No existe un tensor para la energía gravitatoria y no existe un término para la gravedad en la derecha de la EFE. En la rhs de la EFE sólo incluyes formas de energía no gravitatorias.

Tenga en cuenta que cuando está en el vacío (es decir, sin materia/sin radiación), los EFE son

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=0$$ Puedes ver claramente que no hay término en la derecha, aunque hay gravedad.

Por lo tanto, la respuesta a su primera pregunta es: el EMT no debe contener energía gravitacional.

Segunda pregunta

¿Qué es la energía gravitacional en GR? (una fórmula y/o imagen estaría bien)

En GR no tiene sentido hablar de energía gravitatoria.

Breve explicación: como probablemente sepa, en GR la gravedad no es una fuerza real$^1$. Por lo tanto, no hay energía potencial.$^2$asociado a ella.

Explicación más larga: en GR la energía se define como

$$T^{\mu\nu}=\frac{-2}{\sqrt{|g|}}\frac{\delta \mathcal L_m}{\delta g^{\mu\nu}}$$ dónde $$\mathcal L=\sqrt{|g|}\left(R+\mathcal L_m\right)$$ es el Lagrangiano (completo) de la teoría, y $\mathcal L_m$es la parte no gravitatoria del Lagrangiano. Como puede ver, la energía se define a través de la parte no gravitacional del Lagrangiano, lo que a su vez significa que simplemente no tiene sentido hablar de la energía gravitatoria.

Tenga en cuenta que es posible definir una cantidad que (supuestamente) se parece mucho a una energía gravitacional$^3$:

$$t^{\mu\nu}=\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}-R_{\mu\nu}+\frac{1}{2g}[g(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta})]_{,\alpha\beta}$$ pero en general no se acepta como una verdadera energía gravitacional (es más como una analogía formal, sin mucho uso AFAIK). Ni siquiera es un tensor. Sin embargo, para ver cómo funciona, podemos calcular $t^{00}$en la solución de Schwarzschild en el límite de campo débil (no relativista): $$g^{00}=-\left(1-\frac{2M}{r}\right) \qquad g^{ij}=\delta^{ij}$$ (donde ahora tomo $c=G=1$)

La "energía potencial" de esta métrica es

$$t^{00}=\frac{1}{2g} \nabla^2 (g^2)=\nabla^2g+\frac{1}{2g}(\nabla g)^2$$ dónde $g=g^{00}$. Me pregunto si esto te parece una energía potencial (en mi humilde opinión, no lo es).

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EDITAR: Hay un cierto punto que me gustaría discutir un poco más. Simplemente sucede que en EFE no incluimos la curvatura-energía en el rhs. Señalas que si este fuera el caso, entonces la curvatura causaría más curvatura, y la nueva curvatura causaría aún más, etc. ¿Es esto posible? o es simplemente absurdo?

Bueno, creo que les gustará mucho esta conferencia de Feynman (Vol II. Cap 23: Cavity Resonators). Las ecuaciones rhs de Maxwell incluyen tanto$\boldsymbol E$y$\boldsymbol B$, entonces en este caso existe la retroalimentación de la que hablas: un cierto campo eléctrico puede ser responsable de un campo magnético, que a su vez genera más campo eléctrico, que es responsable de más campo magnético, ad infinitum . Pero el resultado es una serie convergente, por lo que todo funciona bien (sé que esto es un poco irrelevante para su pregunta, pero creo que está bien, y creo que también le gustará :))

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$^1$: "En la relatividad general, los efectos de la gravitación se atribuyen a la curvatura del espacio-tiempo en lugar de a una fuerza". - de Wikipedia .

$^2$: "En física, la energía potencial es la energía que tiene un objeto debido a su posición en un campo de fuerza [...]" - de Wikipedia .

$^3$: esta cantidad satisface ciertas relaciones que la energía suele satisfacer, y se construye usando solo el tensor métrico$g$.