¿Cómo puede la gravedad afectar la luz?

La ley de Newton predice la curvatura de la luz. Sin embargo, predice un valor que es un factor de dos más pequeño que el observado realmente.

La ecuación de Newton para la gravedad produce una fuerza:

por lo que la aceleración de la masa más pequeña,$m$, es:

Si la partícula no tiene masa entonces$m/m = 0/0$y esto no está definido, sin embargo, si tomamos el límite de$m \rightarrow 0$está claro que la aceleración de un objeto sin masa es la habitual$a = GM/r^2$. Eso implica que un fotón será desviado por la gravedad newtoniana, y puede usar este resultado para calcular la desviación debida a un objeto masivo con el resultado:

El cálculo se describe en detalle en este documento . El cálculo relativista da:

El objetivo de la expedición de Eddington de 1919 no era mostrar que la luz se doblaba cuando no se esperaba que se doblara, sino mostrar que la curvatura era el doble de lo esperado.

En principio, se puede considerar un espacio-tiempo de Schwarzschild:

$ds^2 = -\left(1- \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \frac{dr^2}{1- \frac{2M}{r}} + r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2\right)$

El Lagrangiano de las geodésicas viene dado entonces por:

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[- \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\dot{t}^2 + \frac{\dot{r}^2}{1-\frac{2M}{r}} + r^2 \dot{\theta}^2 + r^2 \sin^2 \theta \dot{\phi}^2\right]$

Después de aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange y explotar el hecho de que la S-métrica es esféricamente simétrica y estática, se obtiene la ecuación orbital para la luz como (Después de definir$u = 1/r$) como:

$\frac{d^2 u}{d\phi^2} + u = 3 M u^2$.

Es bastante difícil resolver esta ODE. De hecho, no creo que exista una solución de forma cerrada. Se puede aplicar un enfoque de perturbación. Definición de un parámetro de impacto$b$, se puede obtener una solución ansatz para esta EDO como:

$u = \frac{1}{b} \left[\cos \phi + \frac{M}{b} \left(1 + \sin^2 \phi\right)\right]$.

Se puede derivar la siguiente relación:

$u\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\delta \phi}{2}\right) = 0$,

donde$\delta \phi$es el ángulo de desviación.

Ahora, finalmente Taylor expandiendo$u$arriba alrededor$\pi/2$, se puede demostrar que, de hecho:

$\delta \phi = \frac{4M}{b}$,

cual es el resultado requerido.

En esta respuesta derivamos la fórmula para el ángulo de desviación.

$$\theta ~=~\frac{2GM}{b}\left(\frac{1}{v_0^2} + \frac{1}{c^2}\right) +{\cal O}(M^2) \tag{1}$$

de una partícula (masiva o sin masa) en un espacio-tiempo de Schwarzschild . Aquí$b$es el parámetro de impacto y$v_0$es la velocidad asintótica (que para una partícula sin masa es$c$). El límite newtoniano es$c\to \infty$.

Prueba esbozada:

1. Por simetría esférica, podemos tomar el plano de la órbita = plano ecuatorial:$\theta=\frac{\pi}{2}$. Partimos de las ecuaciones geodésicas

   $$\hspace{-5em}\begin{align} E~=~&n^{-1}\frac{dt}{d\lambda} , \cr n^{-1} ~:=~&1 - \frac{r_s}{r}, \cr r_s~:=~&\frac{2GM}{c^2}, \end{align}\tag{5.61/7.43/6.3.12}$$ $$\hspace{-5em} L~=~r^2\frac{d\phi}{d\lambda}, \tag{5.62/7.44/6.3.13}$$ $$\hspace{-5em}\begin{align} \epsilon c^2~=~&n^{-1}c^2 \left(\frac{dt}{d\lambda}\right)^2 \cr ~-~&n\left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 -r^2\left(\frac{d\phi}{d\lambda}\right)^2, \end{align}\tag{5.55/7.39/6.3.10}$$ cf. referencias 1-3. Aquí $$[\lambda]=\text{Time}, \qquad [E] ~=~\text{dimensionless}, \qquad [L] ~=~\frac{\text{Length}^2}{\text{Time}}. \tag{2}$$

   • partícula masiva:$\epsilon=1$y$\lambda=\tau$momento apropiado.

   • partícula sin masa:$\epsilon=0$y$\lambda$no es el momento adecuado.

   Esto lleva a

   $$\hspace{-5em} \begin{align} \underbrace{ (cE)^2 }_{\text{"energy"}} ~=~& \underbrace{ \left(\frac{dr}{d\lambda}\right)^2 }_{\text{"kinetic energy"}}\cr ~+~& \underbrace{n^{-1}\left(\frac{L^2}{r^2}+\epsilon c^2 \right) }_{\text{"effective potential energy"}}. \end{align}\tag{5.64/7.46/6.3.14}$$ El lector puede preguntarse si la$\epsilon$parámetro conduce a una discontinuidad en el ángulo$\theta$de desviación (1) entre el caso masivo y sin masa? Veremos a continuación que no.

2. P: ¿Cómo identificamos las constantes de movimiento?$E$y$L$con los observables$b$y$v_0$en el infinito espacial$r=\infty$? R: Tenga en cuenta que

   $$\begin{align}r v_{\phi}~:=~ r^2\frac{d\phi}{dt}\quad\longrightarrow&\quad bv_0~=~h~=~\frac{L}{E}\cr &\quad\text{for}\quad r~\to~\infty, \end{align}\tag{3}$$ y $$\begin{align}\frac{dr}{dt} \quad\longrightarrow&\quad v_0~=~c\frac{\sqrt{E^2-\epsilon}}{E}\cr &\quad\text{for}\quad r~\to~\infty.\end{align}\tag{4}$$ ecuación (4) significa que la constante de energía es$E=\gamma_0=\left(1-\frac{v_0^2}{c^2}\right)^{-1/2}$en el caso masivo, y es indeterminado en el caso sin masa.

3. Si definimos la coordenada radial recíproca

   $$u~:=~\frac{1}{r},\tag{5}$$ obtenemos un polinomio de tercer orden$^1$ $$\begin{align} \left(\frac{du}{d\phi}\right)^2~=~&P(u)\cr ~:=~&\left(\frac{cE}{L}\right)^2 - n^{-1}\left(u^2+\frac{\epsilon c^2}{L^2}\right) \cr ~=~&r_s(u-u_+)(u-u_-)(u-u_0),\end{align}\tag{6}$$ con 3 raíces $$\begin{align}u_{\pm}~=~&\pm\frac{c}{L}\sqrt{E^2-\epsilon} ~+~\frac{r_s}{2}\left(\frac{cE}{L}\right)^2~+~{\cal O}(r_s^2)\cr ~=~&\pm \frac{1}{b}~+~\frac{GM}{h^2}~+~{\cal O}(M^2) ,\end{align} \tag{7}$$ y
   $$u_0~=~\frac{1}{r_s} +{\cal O}(r_s) .\tag{8}$$

4. Durante el proceso de dispersión, la coordenada radial recíproca$u$va de 0 a la raiz$u_+$y luego de nuevo a 0. El medio ángulo es entonces

   $$\begin{align}\phi&~~~\stackrel{(6)}{=}~\int_0^{u_+} \! \frac{du}{\sqrt{P(u)}} \cr &~~~=~\int_0^{u_+} \! \frac{du}{\sqrt{(u_+-u)(u-u_-)\left(1-r_su\right)}} \cr &\stackrel{u=u_+x}{=}~\int_0^1 \! \frac{dx}{\sqrt{(1-x)(x+\alpha)}}\left(1+\beta x\right) +{\cal O}(r_s^2) \cr &~~~=~\beta\sqrt{\alpha}+(\alpha\beta+\beta+2)\arctan\frac{1}{\sqrt{\alpha}}+{\cal O}(r_s^2) \cr &~~~=~\frac{r_s }{2b}+2\arctan\left(1+\frac{r_s }{2b}\frac{c^2}{v_0^2}\right)+{\cal O}(r_s^2)\cr &~~~=~\frac{r_s }{2b}+2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{r_s }{4b}\frac{c^2}{v_0^2}\right)+{\cal O}(r_s^2), \end{align}\tag{9}$$ donde hemos definido $$\begin{align} \alpha~:=~&-\frac{u_-}{u_+}\cr ~=~&1-\frac{r_s}{L}\frac{E^2}{\sqrt{E^2-\epsilon}} +{\cal O}(r_s^2) \cr ~=~&1-\frac{r_s }{b}\frac{c^2}{v_0^2} +{\cal O}(r_s^2)\end{align} \tag{10}$$ y $$\begin{align} \beta~:=~&\frac{r_s}{2}u_+ ~=~\frac{r_s}{2}\frac{\sqrt{E^2-\epsilon}}{L}+{\cal O}(r_s^2)\cr ~=~&\frac{r_s}{2b} +{\cal O}(r_s^2). \end{align}\tag{11}$$ El constante$\beta$desaparece en el límite newtoniano$c\to \infty$.

5. Finalmente, podemos calcular el ángulo de deflexión

   $$\begin{align}\theta ~=~&2\left(\phi-\frac{\pi}{2}\right)\cr ~\stackrel{(9)}{=}~&\frac{r_s}{b}\left(1 + \frac{c^2}{v_0^2}\right) +{\cal O}(r_s^2),\end{align}\tag{12}$$ que es la fórmula buscada (1).$\Box$

Referencias:

1. Sean Carroll, Espacio-tiempo y Geometría: Una Introducción a la Relatividad General , 2003; Sección 5.4.

2. Sean Carroll, Lecture Notes on General Relativity , Capítulo 7. El archivo pdf está disponible aquí .

3. R. Wald, GR, 1984; Sección 6.3.

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$^1$En el límite newtoniano$c\to \infty\leftrightarrow r_s \to 0$el polinomio de tercer orden (6) se reemplaza por un polinomio de segundo orden

1) La desviación de los rayos de luz es un efecto relativista general, no debido a la ley de la gravedad de Newton.

2) Probablemente sea mejor pensar en estas cosas desde una perspectiva de campo: una distribución de masa-energía se mueve y crea un campo gravitatorio. Luego, cuando las cosas entran en ese campo, interactúan con él y esto cambia su movimiento. Estas cosas pueden tener su PROPIO campo gravitacional que puede mover las primeras cosas, o cualquier otra cosa, pero solo están interactuando con el campo, no con la distribución de materia que creó el campo.

Creo que lo que le faltaba al OP es el principio de la equivalencia entre masa y energía, así como el hecho de que los rayos de luz se doblan incluso en el vacío, e incluso si esa curvatura muestra una curvatura tan sutil que queda mucho más allá de nuestra percepción. sin equipo de aumento.

Como señaló Viktor Toth en https://www.researchgate.net/post/Why_do_you_think_that_gravitational_lensing_is_due_to_time_dilation_Can_it_be_due_to_length_contraction , tanto la dilatación del tiempo gravitacional como la contracción de la longitud gravitacional parecen haber estado igualmente involucradas en la desviación de los rayos de luz por los objetos que gravitan, como se verificó durante el estudio de 1919. Eclipse mencionado por John Rennie: Se había aceptado alguna desviación de este tipo como un efecto de la teoría de la gravedad de Newton, y Einstein la duplicó exactamente, lo que llevó a la primera confirmación experimental de GR.

Lo más interesante de esto, para mí, es que el aspecto espacial de la curvatura involucrada parece haber sido descubierto más de un siglo después de su aspecto temporal: la forma de objetos tan familiares como la luna sugiere una curvatura espacial, pero un la comprensión del tiempo aparentemente tenía mayor interés.

Si se supone que la masa de la luz es estrictamente cero, la gravedad de Newton produciría una fuerza cero. Sin embargo, la órbita de la luz está determinada por la aceleración, no por la fuerza. Para masa cero, la aceleración es indefinida . En el límite de la masa del fotón que tiende a cero, la fuerza tiende a cero, pero la aceleración es, por supuesto, independiente de la masa del fotón. Por lo tanto, uno puede simplemente aplicar la aceleración de Newton a un objeto que se mueve a una velocidad c. Esto da como resultado el valor del artículo de Einstein de 1911, que es la mitad de la predicción de GRT y el valor experimental. Ver https://en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_lens #Historia.

Es solo un concepto simple de acuerdo con la relatividad de Einstein cuando la luz viaja a través de un campo de gravación alto o un objeto que contiene una masa alta (es decir, lo mismo cuando un objeto tiene una masa alta significa que puede atraer otros objetos de menor masa) los fotones presentes en la luz se atraen hacia el otro objeto y vemos que la luz se dobla en el universo, pero hay una cosa que es notar que los fotones son materias sin masa, pero en este caso el objeto con mayor masa atrae al objeto con menor masa cuando es 0.