¿Qué es la aceleración convectiva de la velocidad del flujo?

Question

¿Qué es la aceleración convectiva de la velocidad del flujo?

Física
convección
terminología
campos vectoriales
dinámica de fluidos

flujo-soplado

Yo sé eso $\frac {dv}{dt}=a$ es aceleración, pero:

¿Qué es la aceleración convectiva de una velocidad de flujo?
¿Cuál es la diferencia entre $(v\cdot \nabla) v$ y $v\cdot (\nabla v)$ ?

Urraca

¿Qué tal hacer un intento y mostrarle a la gente dónde estás atascado? Es mucho más fácil ayudarte si haces esto. :-)

Respuestas (2)

¿Qué es la aceleración convectiva de la velocidad del flujo?

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joshfísica · Answer 1

Dejar $\mathbf v(\mathbf x,t)$ denote la velocidad del fluido en la posición $\mathbf x$ y tiempo $t$ .

Supongamos que nos imaginamos viajando por un camino $\mathbf x(t)$ a través del fluido, entonces podemos preguntarnos

Si viajamos a lo largo de la curva $\mathbf x(t)$ a través del fluido, entonces, ¿cuál será la tasa de cambio de la velocidad del flujo de cada punto del fluido por el que pasamos a medida que nos movemos a través del fluido?

La respuesta se llama aceleración convectiva con respecto a la curva $\mathbf x(t)$ y se obtiene de la siguiente manera usando la regla de la cadena:

a_{C v, X} (t) = \frac{d}{d t} v (X (t), t) = \dot{X} (t) \cdot \nabla v (X (t), t) + \frac{\partial v}{\partial t} (X (t), t)

$\mathbf a_{\mathrm{cv}, \mathbf x}(t) = \frac{d}{dt} \mathbf v (\mathbf x(t),t) = \dot{\mathbf x}(t)\cdot \nabla\mathbf v(\mathbf x(t),t) + \frac{\partial \mathbf v}{\partial t}(\mathbf x(t), t)$

Ahora, supongamos que $\mathbf x(t)$ representa una curva que se mueve junto con el propio fluido

\dot{X} (t) = v (X (t), t)

$\dot{\mathbf x}(t) = \mathbf v(\mathbf x(t), t)$ entonces, obtenemos la siguiente expresión para la aceleración convectiva:

a_{C v} (t) = v (X (t), t) \cdot \nabla v (X (t), t) + \frac{\partial v}{\partial t} (X (t), t)

$\mathbf a_{\mathrm{cv}}(t) = \mathbf v(\mathbf x(t),t)\cdot \nabla\mathbf v(\mathbf x(t),t) + \frac{\partial \mathbf v}{\partial t}(\mathbf x(t), t)$ que suele abreviarse como

a_{C v} (t) = v \cdot \nabla v + \frac{\partial v}{\partial t}

$\mathbf a_\mathrm{cv}(t) = \mathbf v\cdot\nabla \mathbf v + \frac{\partial\mathbf v}{\partial t}$ En cuanto a su segunda pregunta, no hay diferencia matemática entre los resultados de

(v \cdot \nabla) v

$(\mathbf v\cdot\nabla) \mathbf v$ y

v \cdot (\nabla v)

$\mathbf v\cdot(\nabla \mathbf v)$ , pero la diferencia en el orden de las operaciones aquí significa que diferentes subpartes de las expresiones significan cosas diferentes.

En el primer caso, primero formamos el operador diferencial

v \cdot \nabla = \sum_{i} v_{i} \frac{\partial}{\partial X_{i}}

$\mathbf v\cdot\nabla = \sum_i v_i\frac{\partial}{\partial x_i}$ y luego aplicamos este operador a cada componente del campo vectorial de velocidad para obtener

(v \cdot \nabla) v = (\sum_{i} v_{i} \frac{\partial v_{1}}{\partial X_{i}}, \sum_{i} v_{i} \frac{\partial v_{2}}{\partial X_{i}}, \sum_{i} v_{i} \frac{\partial v_{3}}{\partial X_{i}})

$(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v = \left(\sum_i v_i\frac{\partial v_1}{\partial x_i}, \sum_i v_i\frac{\partial v_2}{\partial x_i}, \sum_i v_i\frac{\partial v_3}{\partial x_i}\right)$ En el segundo caso, primero usamos gradientes por componentes para obtener

\nabla v = (\nabla v_{1}, \nabla v_{2}, \nabla v_{3})

$\nabla\mathbf v = (\nabla v_1, \nabla v_2, \nabla v_3)$ y luego punteamos el resultado con

v

$\mathbf v$ para obtener

\begin{aligned} v \cdot (\nabla v) & = (v \cdot \nabla v_{1}, v \cdot \nabla v_{2}, v \cdot \nabla v_{3}) \\ = (\sum_{i} v_{i} \frac{\partial v_{1}}{\partial X_{i}}, \sum_{i} v_{i} \frac{\partial v_{2}}{\partial X_{i}}, \sum_{i} v_{i} \frac{\partial v_{3}}{\partial X_{i}}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf v\cdot(\nabla\mathbf v) &= (\mathbf v\cdot\nabla v_1, \mathbf v\cdot\nabla v_2, \mathbf v\cdot\nabla v_3) \\ &= \left(\sum_i v_i\frac{\partial v_1}{\partial x_i}, \sum_i v_i\frac{\partial v_2}{\partial x_i}, \sum_i v_i\frac{\partial v_3}{\partial x_i}\right) \end{align}$ que es el mismo resultado que el primer caso.

No me gusta la respuesta anterior porque no explica bien por qué $X(t)=V(x(t),t)$ . Me gusta el comienzo, en realidad me llevó a mi versión: $\frac{d F (X (t), t)}{d t} = \frac{d (F (X), t)}{d X} \times \frac{d X}{d t} + \frac{d F (X (t), t)}{d t}$ $\frac{df(x(t),t)}{dt}=\frac{d(f(x),t)}{dx}\times\frac{dx}{dt} + \frac{df(x(t),t)}{dt}$ $\frac{d X}{d t} = v$ $\frac{dx}{dt}=v$ Creo que se llama diferenciales parciales de Maxwell. Por favor, comenta.
@ArthurMabentsela Hay un punto sobre el $\mathbf{x}$ que denota una derivada del tiempo. La ecuacion $\dot{\mathbf x}(t) = \mathbf v(\mathbf x(t), t)$ es simplemente la afirmación de que si la partícula se mueve con el fluido, entonces su velocidad coincide con la del fluido.

Suaraj raj · Answer 2

La respuesta de joshphysics es engañosa. v⋅∇v+∂v/∂t es la aceleración total. v⋅∇v es la parte convectiva.

Aceleración convectiva = v⋅∇v

Aceleración local/inestable = ∂v/∂t

Aceleración total/material = v⋅∇v + ∂v/∂t

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joshfísica

usuario71640

joshfísica

Suaraj raj

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