¿Qué es exactamente la regularización en QFT?

La respuesta definitiva a su pregunta es: no existe una definición matemáticamente precisa y comúnmente aceptada del término "procedimiento de regularización" en la teoría del campo cuántico perturbativo.

En cambio, existen varios esquemas de regularización con sus ventajas y desventajas.

Quizás encuentre el Capítulo B5: Divergencias y renormalización de mis preguntas frecuentes sobre física teórica en http://arnold-neumaier.at/physfaq/physics-faq.html esclarecedor. Allí intento resumir las características comunes y explicar en términos generales lo que se necesita para que la renormalización funcione. La creencia general es que los detalles del esquema de regularización no importan, aunque de hecho se sabe que a veces algunos esquemas de regularización dan resultados aparentemente incorrectos.

Esto es de esperar ya que la teoría no regularizada está mal definida y puede definirse bien de diferentes maneras, al igual que una serie infinita divergente puede tener infinitos significados diferentes dependiendo de cómo agrupe los términos para resumirlos.

Si en algún momento en el futuro hay una respuesta positiva a su pregunta, lo más probable es que sea solo cuando alguien encuentre una definición no perturbativa lógicamente sólida de la clase de teorías cuánticas de campo renormalizables.

Por otro lado, si desea tener un tratamiento matemáticamente riguroso de algunos esquemas de regularización particulares para algunas teorías particulares , debe leer los libros de (i) Salmhofer, Renormalization: an Introduction, Springer 1999, y (ii) Scharf, Finite electrodinámica cuántica: el enfoque causal, Springer 1995.

Voy a dar una respuesta tonta, pero creo que esto es lo mejor que podemos hacer. Un regulador es cualquier receta para definir la integral de trayectoria de tal manera que después de agregar una suma de contratérminos locales a la acción y permitir que los acoplamientos físicos dependan de la escala de renormalización$\mu$, las funciones de correlación son iguales a las que se obtienen tomando un límite continuo de una teoría reticular. Esto es similar en motivación a su edición más reciente, excepto que realmente necesitamos usar una red en lugar de un límite de espacio de impulso euclidiano, porque este último rompe la invariancia de calibre.

Soy pesimista acerca de la existencia de una mejor respuesta, solo porque algunos reguladores satisfacen algunas buenas propiedades (es decir, unitaridad, simetrías, etc.), mientras que otros no.

Como dijiste, la regularización es necesaria incluso para comenzar a dar sentido a los diagramas que aparecen en la teoría de perturbaciones. La palabra "perturbación" ya contiene una pista hacia la respuesta que puede estar buscando. Si está tratando de dar sentido a la teoría de la interacción$d\nu$por perturbación, esto implica que hay alguien siendo perturbado, es decir, una teoría libre$d\mu$. Creo que la regularización es una característica de la pareja.$d\nu,d\mu$más bien que$d\nu$solo. Por ejemplo, tome la medida funcional$d\mu$correspondiente al campo libre habitual

$$d\mu(\phi)=\frac{1}{Z}e^{-\frac{1}{2}\int \{(\nabla\phi)^2+m^2\phi^2\}} D\phi$$ y deja $d\nu(\phi)=\frac{1}{Z'}e^{-V(\phi)}d\mu(\phi)$dónde $V$es su potencial de interacción favorito, por ejemplo, $$V(\phi)=g\int \phi^4\ .$$ Dejar $\rho(x)$ser un apaciguador (no estoy seguro de cómo se debe escribir eso), es decir, una función suave con un decaimiento rápido o incluso un soporte compacto alrededor del origen con $\int \rho=1$. Dejar $\rho_r(x)=2^{-dr}\rho(2^{-r} x)$dónde $d$es la dimensión (del espacio-tiempo euclidiano) y $r\rightarrow -\infty$es el corte UV. Entonces si se denota por $d\mu_r$la ley de $\rho_r\ast\phi$con $\phi$muestreado de acuerdo con la medida de probabilidad libre $d\mu$, se tiene la débil convergencia de $d\mu_r$a $d\mu$cuando $r\rightarrow-\infty$. En ese sentido, la modificación que estamos haciendo es una sensata regularización de la medida. $d\mu$. Ahora en una inspección más cercana $e^{-V(\phi)}d\mu(\phi)$no tiene ningun sentido. Sin embargo $e^{-V(\phi)}d\mu_r(\phi)$esta perfectamente bien Entonces el juego se convierte en tratar de obtener $d\nu$como el límite de las medidas $d\nu_r(\phi)=\frac{1}{Z_r}e^{-V_r(\phi)}d\mu_r(\phi)$cuando $r\rightarrow -\infty$. Fíjate que cambié $V$dentro $V_r$porque la teoría de la renormalización nos dice que tenemos que permitir acoplamientos como $g$etc. depende del corte $r$.

Si uno tiene éxito en esta construcción de la teoría interactuante$d\nu$, la independencia de la regularización puede entenderse como que el resultado es independiente de la elección del suavizante$\rho$(La reularización del núcleo de calor o Pauli-Villars son casos particulares).

En el contexto relacionado de los SPDE singulares, Hairer hizo un progreso reciente con su teoría de las estructuras de regularidad (ver también esta revisión pedagógica ). Una característica importante de esta teoría es que permite probar afirmaciones similares sobre la independencia con respecto a la elección del procedimiento de regularización. En el artículo "Un segundo teorema de Kolmogorov-Chentsov cuantificado" también doy un procedimiento general para formar productos de distribuciones aleatorias de Schwartz gracias a la expansión del producto del operador de Wilson. Allí también es necesario introducir una regularización y luego controlar su eliminación. Además, el resultado final es independiente de la elección de la regularización.

Tenga en cuenta que no hay razón para restringir las consideraciones anteriores a las teorías perturbadas$d\mu$que son gaussianas. En cierto sentido, la teoría de la perturbación conforme se trata de perturbaciones similares alrededor de otras QFT no triviales.

Por supuesto, en el espacio de Fourier, el propagador de$d\mu_r$es

$$\frac{|\widehat{\rho}(2^r p)|^2}{p^2+m^2}$$ pero prefiero la definición en $x$espacio como una convolución, ya que esto equivale a tomar promedios locales y es un análogo continuo del procedimiento de giro de bloques de Kadanoff.

Por cierto, la noción de regularización no es propiedad exclusiva de QFT, se usa mucho en la teoría matemática de la distribución como una herramienta para probar varios teoremas y tratar con operaciones no lineales. En la literatura francesa sobre el tema de Laurent Schwartz y muchos otros, el eslogan es "troncature et regularisation", es decir, el uso de cortes IR y UV respectivamente.

La regularización es una reescritura de su integral para que pueda manejar sus divergencias usando otros trucos.

Por ejemplo, en QFT calculas alguna amplitud en un cierto orden en la teoría de la perturbación. Las integrales que representan diagramas de bucle divergen. El procedimiento de regularización más común se llama regularización dimensional, en el que parametrizas la dimensión de tu integral de ciclo a, por ejemplo, d=4-c.

Resulta que su integral era divergente para un gran momento, por lo tanto, tenía un corte de rama. Ahora, después de la regularización dimensional, la divergencia del corte de rama se convirtió en un polo simple cuando c=0. Como sabes, es más fácil lidiar con un simple poste que con una rama cortada.

Después de hacer que su integral sea más manejable, puede volver a normalizar y luego separar las partes divergentes y finitas de su resultado. Eventualmente usa otros trucos para eliminar la parte divergente, por ejemplo, agrega contratérminos a su lagrangiano.

Tienes una teoría, luego calculas alguna cantidad física, luego obtienes alguna divergencia. La idea de "regularización" es definir otra teoría dependiendo de algún parámetro, cuando deje que el parámetro envíe a algún valor (digamos d->4, Λ->infinito, longitud de red a cero...), que otra teoría tenderá a la teoría original. Este procedimiento le garantizará obtener un resultado finito, pero cuando el parámetro envíe algún valor, recuperará la teoría original.

El siguiente paso es la "renormalización". Usamos la teoría regularizada para calcular alguna cantidad física básica, como la masa, la amplitud de dispersión. Todas las demás cantidades físicas pueden expresarse mediante esta cantidad básica, el milagro de la "teoría renormalizable" es que esta expresión es irrelevante para el parámetro.