¿Qué es exactamente la dualidad?

La dualidad entre dos teorías diferentes significa que estas dos teorías, cuando se aplican a un problema, dan las mismas respuestas. Las dualidades pueden ser aproximadas o exactas (p. ej., la dualidad de calibre/gravedad, las dualidades de cuerdas, etc.) dependiendo de si los cálculos realizados con las dos teorías diferentes concuerdan exactamente o solo hasta cierto límite .

Las dualidades suelen ser un rasgo característico de la lógica y la estructura matemáticas subyacentes. Como un vago ejemplo, el hecho de que pueda explicar de manera efectiva la estructura de las estrellas usando la hidrodinámica y la mecánica cuántica por separado, no significa que la hidrodinámica sea dual a la mecánica cuántica. La dualidad ocurre porque la estructura matemática subyacente entre los dos objetos termina calculando exactamente lo mismo o se reduce a la misma cantidad en ciertos límites. Por supuesto, hay algunas dualidades que se entienden bien matemáticamente, como la simetría especular, mientras que otras que todavía son conjeturas bien aceptadas (desde un punto de vista matemático), como la dualidad holográfica. Pero hay dualidades en la física y dado su origen matemático, también deben existir en las matemáticas, y las hay.

Saber que dos cosas son duales requiere que comprenda cómo construir y calcular cantidades con precisión utilizando las teorías entre las que desea describir una dualidad. Sin embargo, demostrar que dos cosas son duales es mucho más matemático.

La dualidad surge en la física cuando dos aspectos diferentes de la naturaleza están aparentemente relacionados entre sí por una teoría subyacente común. Hay varios ejemplos de dualidades en la física. por ejemplo, dualidad onda-partícula, dualidad campo eléctrico/campo magnético, dualidad calibre/gravedad. Por lo general, aparece cuando la teoría subyacente se ve desde dos límites diferentes.

Para verificar si los dos o más aspectos de la naturaleza son duales o no, debe conocer la teoría básica subyacente y ver si los aspectos se manifiestan como los límites de la teoría o si son subpartes de la teoría completa. .

Un sistema cuántico exhibe dualidad cuando posee dos (o más) descripciones clásicas equivalentes, digamos,

Las dualidades proporcionan diccionarios entre estas descripciones, aunque las correspondencias a menudo son endiabladamente complicadas (las más interesantes son, por decirlo suavemente, altamente no triviales).

Algunas características importantes son:

1. Dado que el sistema cuántico en sí mismo es único, el homeomorfismo entre${\cal D}$ $\mapsto$ ${\cal D}'$solo representa un cambio de perspectiva. Esto implica que ambas descripciones son experimentalmente indistinguibles, y ninguna es más fundamental (tenemos un sistema físico simplemente descrito a través de distintos "puntos de vista").

2. Ayudan a disminuir los despidos. Citando a Polchinski, "la dualidad apunta a una gran unidad en la estructura de la física teórica".

3. Aunque las dualidades ocurren en muchas áreas de la física además de las cuerdas, debe señalarse que la teoría de supercuerdas se ha revelado como un excelente "generador de dualidad", notablemente útil para predecir y analizar dualidades en otras áreas.

4. Como señaló Vafa, las dualidades cambian la naturaleza del problema: "resolver el problema" se convierte en "encontrar la descripción dual correcta para resolverlo".

5. La dualidad es una de las técnicas más potentes proporcionadas por la física a las matemáticas: se pueden construir modelos físicos duales utilizando estructuras matemáticas completamente diferentes. Un modelo puede expresarse en el lenguaje de la geometría algebraica, mientras que su dual puede involucrar objetos en teoría de números, topología, etc. Por lo tanto, las dualidades pueden conducir a correspondencias completamente inesperadas entre áreas de las matemáticas.

6. En muchos sistemas físicos, las dualidades y las transformadas de Fourier tienen notables similitudes. En una transformada de Fourier, el marco unificado (que explica la conexión dual) que tiene f(x) y F(p) como dos límites diferentes (marcos de dualidad) es una distribución de Schwartz (o temperada)$u \in {\cal D}’(R^n)$definido por la dualidad del espacio de funciones de prueba de rápido decrecimiento.

Las llamadas dualidades S (una de las más interesantes) describen sistemas cuánticos$({\cal D},\lambda)\,\, \& \,\,({\cal D}',\lambda')$dónde$\lambda = \frac{1}{\lambda'}$. Tenga en cuenta que esta propiedad puede ser extremadamente útil: ¡las teorías fuertemente acopladas terriblemente difíciles a menudo se vuelven fáciles de trabajar!

En las dualidades S, las partículas elementales se asignan a otras compuestas (generalmente solitones que son similares a partículas, más grandes y más pesados, constituidos por varios cuantos y que se encuentran incluso de forma clásica) y viceversa. La equivalencia de las descripciones implica que las entidades elementales y compuestas son intercambiables: la clasificación de las partículas pierde sentido, se convierte esencialmente en una opción de conveniencia; las divisiones tales como "constituyentes básicos" o "partículas elementales" se vuelven mal definidas (Sidney Coleman denominó a este estado de cosas "democracia nuclear"). ”).

Sin embargo, hay muy pocas pruebas de dualidades. Por ejemplo, para probar la S-dualidad se requiere hacer cálculos utilizando teorías fuertemente acopladas. La evidencia, sin embargo, es abrumadora.