¿Qué es "Beyt Shamai/Beyt Hilel" para citar Mishnayot?

Hillel y Shammai representan el último de los Zugos los Pares de Tannaim. Después de ellos, este período cesó y la próxima generación podría considerarse un nuevo período. Se podría decir un período de transición entre dos personas y tener escuelas sin representar a una u otra persona. Entonces, a este respecto, no existía tal cosa como Beit Rebbe Akiva porque no representaba una escuela, sino una combinación de lo que aprendió de sus maestros. Ya no había un solo camino a través de un solo maestro que representaba una sola tradición. Rebe Akiva representó la suma total de la Torá Oral con diferentes enseñanzas fusionadas en una sola. Si sigues la línea de maestros del Rebe Akiva, él aprendió de las academias de Hillel y Shamai.

Después de que Hillel y Shammai fallecieron, sus estudiantes continuaron con sus enseñanzas. Sus alumnos representaban a sus academias y los desacuerdos entre ellos continuaban y aumentaban. La tradición oral, sin embargo, como una unidad completa ya no podía ser encapsulada ni siquiera por una sola academia y eso no podía transmitirse de una generación a la siguiente, sino que requería que los estudiantes de ambas academias aprendieran y transmitieran la tradición.

Entonces, para responder a la pregunta, Beit Shammai es la academia o escuela donde se transmitieron e interpretaron las enseñanzas de Shammai y la Torá Oral. Lo mismo es cierto para la Academia de Hillel. Posteriormente, las enseñanzas ya no pudieron estar contenidas en una sola academia que representara la transmisión del Rebe. Tuviste que ir a diferentes Academias para recibir y transmitir la Torá Oral a tus discípulos. Así terminó la era de una sola 'escuela de pensamiento'. Después de eso, ningún maestro o discípulo podría afirmar que la suma total de la Torá Oral que recibió fue de una sola escuela en particular, sino de un conglomerado de diferentes maestros/escuelas.

Como mencionó el OP, los Braisos, que son fuentes de Tannaic, mencionan a Tanna d'Bei Rebbi Yishmael. Pero no es común. La Guemará es una combinación de discusión aramea y fuentes tanaicas.

Para responder a la segunda pregunta, cuando se menciona en nombre de otra persona, ese es el autor de la declaración oral. Sin embargo, cuando Beis Hillel o Beis Shammai es el creador, no puede vincularse directamente con Hillel o Shammai, sino con la academia en la que enseñaron.