¿Qué determina la relación presión-flujo dominante para un gas a través de una restricción de flujo?

Regímenes

• 1 - número de Reynods bajo:

  • dominada por la viscosidad (esfuerzo cortante)
  • menos probabilidad de presentar transición a turbulencia
  • $\Delta P \propto Q,\,\,\,$ Ec.(1) : lineal ($K_1$)

• 2 - número de Reynolds alto:

  • inercia dominada
  • más probabilidades de presentar transición a la turbulencia
  • $\Delta P \propto Q^2,\,\,\,$ Eq.(2) : cuadrática ($K_2$)

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El régimen 1 se describe mediante ecuaciones como la ecuación de Hagen-Poiseuille y la ley de Darcy .

La expresión de Original Poster (OP) en realidad coincide con una generalización conocida de la ley de Darcy para números de Reynoulds más altos, la ley de Darcy-Forchheimer :

$$\partial P/\partial x = AQ^2 + BQ$$

Y también el Hagen-Poiseuille " falla en el límite de baja viscosidad, tubería ancha y/o corta " [Wikipedia] y luego está acotado por la ecuación (2).

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Referencias

• Referencia principal: la conferencia Laminar & Turbulent Flow en myFluidix.com de Jens Ducrée , donde se muestra, para ejemplos concretos, que:

  1. Cuando el esfuerzo cortante es importante, es decir, cuando el número de Reynolds es bajo, la viscosidad domina el flujo y se tiene (pág. 26) Régimen 1;

  2. Para números de Reynolds altos, la expresión de Blasius para el factor de fricción de Fanning da (pág. 51)

     $$\Delta P \propto Q^{7/4},$$ de la cual la ecuación (2) es una aproximación.

• En el sexto capítulo [Ec. (6.1.27) y (6.1.13)] de su libro Mecánica de fluidos para ingenieros químicos , Wilkes corrobora detalladamente el Escenario 1, es decir, muestra que los flujos con números de Reynod bajos (es decir, dominados por la viscosidad) satisfacen la Ec. (1) .

• En la Guía de ingeniería de presión diferencial de Emerson se muestra, a partir de la ecuación de Bernoulli$^\mathrm{footnote 1}$, que los flujos con números de Reynolds altos siguen la ecuación (2) (su ecuación 3.15). Más adelante en el libro, un poder general-$n$se encuentra dependencia (Ec. 11.1.14) para fluidos no newtonianos.

• Este tutorial de anestesiología (o aquí ) ofrece una explicación física intuitiva: "[con turbulencia,] el flujo está menos ordenado y las corrientes de Foucault reaccionan entre sí, aumentando la resistencia al flujo. Como resultado, se requiere una mayor entrada de energía para una tasa de flujo dada cuando el flujo es turbulento en comparación con cuando el flujo es laminar. Esto se demuestra mejor por el hecho de que en el flujo turbulento, la tasa de flujo es proporcional a la raíz cuadrada del gradiente de presión, mientras que en el flujo laminar, la tasa de flujo es directamente proporcional al gradiente de presión".

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$^\mathrm{footnote1}$ ^{: La ecuación de Bernoulli es válida siempre que el esfuerzo cortante no sea importante: alta Re lejos de las capas límite: "fuera de la capa límite, incluso los flujos viscosos reales pueden tratarse como no viscosos [y] puede aplicar la ecuación de Bernoulli", como discutido en este hilo muy informativo del foro .}

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Orificios

Los flujos a través de los orificios se asocian típicamente con números de Reynolds elevados. Esto se puede ver por la probabilidad de que la variación en la velocidad sea grande con variaciones abruptas de diámetro o, alternativamente, considerando el orificio como un caso límite de un tubo finito con diámetro creciente (tutorial ) . Y Wikipedia también da$\Delta P \propto Q^2$para orificios.

Curiosamente, sin embargo, hay un artículo muy citado, " Un modelo de flujo de orificio para condiciones laminares y turbulentas " , que "proporciona una relación lineal para pequeñas diferencias de presión y la ley de la raíz cuadrada convencional para condiciones turbulentas".

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Navier Stokes

Lo que sigue es un bosquejo de algunos pasos para obtener cualitativamente la expresión de OP a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes (NS). Es más un gesto de mano que una prueba matemática, ya que ya se pueden encontrar derivaciones adecuadas más largas en las referencias anteriores.

Considero solo una dimensión siempre que sea posible, de la manera que se hace en la sección "Número de Reynolds" del sitio web de Bob McGinty . Empezamos con la ecuación NS habitual:

$$\nabla P = \frac{1}{\mathrm{Re}} \nabla^2\mathbf{v} - \frac{D\mathbf{v}}{Dt}.$$

• 1º: en 1-D,$\nabla$es una derivada parcial espacial ($\nabla P = \partial P/\partial x$, o, para flujos constantes, simplemente$dP/dx$) y, dado que estamos interesados ​​en la caída de presión integral a lo largo de la longitud fija$\Delta x = L$a lo largo de la obstrucción, el término podría simplificarse aún más para$\Delta P/L$(dimensional).

• 2do:$\nabla^2\mathbf{v} = \partial^2v/\partial x^2 + \partial^2v/\partial y^2$es el término de viscosidad (se puede entender como una difusión de momento).

• 3º:$D\mathbf{v}/Dt$es la derivada material y representa$\partial \mathbf{v}/ \partial t + \mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf{v}$. Para un flujo constante, el primer término se anula y el segundo término es$(v \partial v/\partial x + u \partial v/\partial y)$, que es la aceleración convectiva , es decir, un cambio espacial de velocidad, y donde$u$denota la velocidad en la(s) dirección(es) perpendicular(es) al flujo (libre).

Con eso, NS se convierte en:

$$\frac{dP}{dx} = \frac{1}{\mathrm{Re}} \left(\frac{\partial^2v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2v}{\partial y^2}\right) - \left(\frac{v\partial v}{\partial x} + u\frac{\partial v}{\partial y}\right)$$

• Régimen 1 - número de Reynods bajo:

Para pequeños$\mathrm{Re}$valores, el término viscoso se vuelve dominante y podemos despreciar el término inercial (derivada material). considerando un$x$-independiente$v=v(y)$perfil ($\partial^2v/\partial x^2$luego desaparece, y, por ejemplo,$\partial^2v/\partial y^2$es constante para un perfil parabólico), y podemos escribir la ecuación NS como

$$\Delta P = \frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{d^2v}{dy^2} \Rightarrow$$ $$\int \Delta P dy = \frac{1}{\mathrm{Re}} \int \frac{d^2v}{dy^2}dy = \frac{1}{\mathrm{Re}} \int \frac{d}{dy}\left(\frac{dv}{dy}\right)dy\Rightarrow$$ $$\int\int \Delta P dy^2 = \frac{1}{\mathrm{Re}} \int \frac{dv}{dy}dy\Rightarrow v \propto \Delta P$$

El flujo$Q = \int v\, dA$es por lo tanto de orden

$$Q \propto \Delta P. \,\,\,\, \mathrm{ Eq.(1)}$$

• Régimen 2 - número de Reynods alto:

Para grande$\mathrm{Re}$valores, el término viscoso desaparece de la ecuación NS y, si consideramos que el flujo a través de la obstrucción es principalmente unidireccional (como a través de un orificio) también tenemos$u\approx0$y puede escribir:

$$\frac{dP}{dx} = - v\frac{dv}{dx} \Rightarrow$$ $$\int \frac{dP}{dx}dx = - \int v\frac{dv}{dx} dx = - \int v dv = v_1^2 - v_2^2$$

Para un fluido incompresible,$v_1A_1 = v_2A_2$, entonces$v_1^2-v_2^2 = v_1^2(1-A_1^2/A_2^2)$, de este modo

$$\Delta P \propto v^2 \Rightarrow v \propto \sqrt{\Delta P},$$

y el flujo$Q = \int v\, dA$es

$$Q \propto \sqrt{\Delta P}. \,\,\,\, \mathrm{Eq.(2)}$$

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Respuesta original

Parece que la descripción unificada que busca está dada por la transición entre flujos laminares y turbulentos, cuantificados por el número de Reynolds , con el flujo turbulento vinculado al término cuadrático y el flujo laminar al lineal.

Tal vez uno podría deducir mucho de la forma adimensional de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes :

$$\nabla p = \frac{1}{\mathrm{Re}}\nabla^2\mathbf{v} - \frac{D\mathbf{v}}{Dt}.$$

Pero es la documentación de Mathworks Simscape la que me da más confianza al respecto:

diferencias de presión [...] proporcionales al cuadrado del caudal [...] es el comportamiento típico del flujo turbulento. Sin embargo, para el flujo laminar, la diferencia de presión se vuelve lineal con respecto al caudal.

También puede encontrar información sobre los coeficientes de la$\Delta P$ecuación para los casos laminar y turbulento aquí .

Soluciones que dependen de$\Delta P \propto Q^{2}$están relacionados con la resistencia aerodinámica normal , que solo depende de la presión del ariete,$\rho \ U^{2}/2$, un coeficiente de arrastre,$C_{d}$, y el área de la sección transversal afectada,$A$, o:

$$F_{d} = \frac{1}{2} \ \rho \ U^{2} \ C_{d} \ A \tag{1}$$

Soluciones que dependen de$\Delta P \propto Q$están dominados por el arrastre de Stokes , donde la fuerza de arrastre viene dada por:

$$F_{s} = 6 \ \pi \ \eta \ r \ U \tag{2}$$ dónde $\eta$es la viscosidad dinámica , $r$es un radio efectivo o tamaño de escala del objeto, y $U$es la velocidad de flujo a granel en relación con el objeto.

Entiendo que la ecuación de Bernoulli dominará cuando las velocidades sean grandes y, por lo tanto, el componente de relación cuadrada. Pero lo que está determinando el$K_{1}$comportamiento de los componentes? ¿Se debe esto a que los efectos de la viscosidad se vuelven dominantes? ¿Se vuelve dominante la relación Pouiselle?

Sí, es un efecto viscoso eficaz. Cuando la restricción o el obstáculo son de una sola forma y el flujo es relativamente constante, laminar , entonces domina la Ecuación 1 anterior. Si la trayectoria del flujo tiene varias vueltas o el fluido es muy viscoso o el flujo es turbulento , entonces domina la Ecuación 2 anterior.

El arrastre de Stokes (Ecuación 2) surge del tensor de deformación en las ecuaciones de Navier-Stokes , mientras que el arrastre aerodinámico (Ecuación 1) surge de una aproximación del tensor de presión de la ecuación de Bernoulli .

La separación entre los dos se aproxima por el número de Reynolds dado por:

$$Re = \frac{ \rho \ U \ L }{ \eta } \tag{3}$$ dónde $\rho$es la densidad de masa del fluido y $L$es el tamaño característico de la escala. Inicios de flujo turbulento para alta $Re$, pero el inicio depende de si el fluido fluye alrededor de un obstáculo (por ejemplo, $Re > 10^{5}$) o a través de una tubería (p. ej., $Re > 10^{3}$).

Existen límites/ejemplos simples a considerar cuando dominan las Ecuaciones 1 y 2. Si intenta arrastrar un palo/varilla a través de un fluido espeso y viscoso como la miel, obviamente la Ecuación 2 es la fuerza de arrastre relevante. Si arrastras el mismo palo/barra por el aire tan rápido como tu brazo puede moverse, entonces la Ecuación 1 dominará.

Si tiene un fluido que se encuentra en el medio, ambas ecuaciones pueden desempeñar un papel importante. Por ejemplo, el aire generalmente no es tremendamente viscoso, pero si lo fuerza a través de una tubería pequeña con múltiples curvas a velocidades lo suficientemente altas, puede comportarse como un fluido viscoso. Desafortunadamente, el número de Reynolds no es un parámetro exacto, ya que no establece que en el valor$Re = X$entonces el flujo es exactamente laminar.