¿Quantum Coulomb sigue siendo singular?

Tenga en cuenta que debido a la dependencia del tiempo de$\psi(\vec r, t)$el potencial retardado tiene que ser considerado. Entonces estamos buscando

$$\begin{align*} \langle\phi(\vec r, t)\rangle &= \int_{\mathbb R^3}d^3x \frac q{4\pi\epsilon_0}\frac{\Big|\psi(\vec x, t - \frac1c|\vec x - \vec r|))\Big|^2}{|\vec x - \vec r|} \quad\Bigg|\quad \vec x \to \vec x + \vec r \\ &= \int_{\mathbb R^3}d^3x \frac q{4\pi\epsilon_0}\frac{\Big|\psi(\vec x + \vec r, \overbrace{t - \frac xc}^{=:t_c(x)}))\Big|^2}{x} \\ &\stackrel{(B)}= \int_{\mathbb R^3} d^3x \underbrace{ \frac q{4\pi\epsilon_0}\overbrace{\Bigg|{a \over a + i\hbar t_c/m}}^{=\frac{a}{\sqrt{a^2+\hbar^2t_c^2/m^2}}=\frac{\sqrt{2a}}{\sigma}}\Bigg|^3}_{=:N} \frac{\exp\overbrace{\left(- \Re \frac{(\vec x + \vec r)^2}{(a + i\hbar t_c/m)} \right)}^{=-\frac{a(\vec x + \vec r)^2}{a^2+\hbar^2t_c^2/m^2} =: -\frac{(\vec x + \vec r)^2}{2\sigma^2(t_c)}}}{x} \end{align*}$$

El$x$-dependencia de$t_c$hace de esto una integral muy desagradable, así que tomemos el límite no relativista$c\to\infty$tal que$t_c(x) \to t$(o alternativamente, suponga$m\to\infty$). Entonces estamos buscando

$$\begin{align*} \langle\phi(\vec r,t)\rangle &= N\int_{\mathbb R^3}d^3x \frac{\exp\left(-\frac{(\vec x + \vec r)^2}{2\sigma^2}\right)}{x}. \tag{tk.C}\label{tk.C} \end{align*}$$

Tenga en cuenta cómo para$\vec r=0$Podemos usar coordenadas esféricas para obtener

$$\begin{align*} \langle\phi(0,t)\rangle &= 4\pi N\int_0^\infty \rho^2 d\rho \frac{\exp\left(-\frac{\rho^2}{2\sigma^2}\right)}{\rho} \\ &= -4\pi\sigma^2 N\int_0^\infty d\rho\, \partial_\rho \exp\left(-\frac{\rho^2}{2\sigma^2}\right) \\ &= 4\pi\sigma^2 N = \frac{q\sqrt{2a}^3}{\epsilon_0\sigma} \end{align*}$$

que para$\sigma\neq0$(que produciría una partícula verdaderamente localizada que, sin embargo, se difundiría infinitamente en el instante siguiente) es finita, por lo que la respuesta a la pregunta es, considerando la incertidumbre, ya no hay una singularidad .

En el papel, en realidad calculé$\eqref{tk.C}$para terminar con un factor de corrección$\mathrm{erf}\left(\frac r{\sqrt{2\sigma^2}}\right)$al potencial clásico de Coulomb (usando la transformada de Fourier wrt$\vec r$, intercambiando integrales e integrando sobre$\sigma^2$), pero eso es demasiado tedioso para componer por ahora, y hay un error de signo en alguna parte...

Se supone que debo responder a su pregunta para publicar aquí, pero, en realidad, no hay forma de responder a su pregunta. Para responder a una pregunta, podría haber preguntado: Sí, los electrones deben tener un impulso difuso. Pero, ese no es el problema "real". Siempre puedes ponerlos en un pozo potencial. Si la mecánica cuántica no relativista "funcionara", entonces podría localizar electrones / carga tan bien como quisiera, y así tener un potencial tan divergente como quisiera. Pero hay dos objeciones a esto, la mecánica cuántica relativista especial y la relatividad general. Si localiza un electrón en una región lo suficientemente pequeña, tan pequeña que su energía de enlace$E_b$está cerca de su masa en reposo,$-E_b\sim m_ec^2$, debe pensar en él como un campo cuántico relativista y como una mezcla de electrones y positrones. Estos se tratan utilizando la electrodinámica cuántica y (bueno) sería razonable en ese contexto afirmar que tienen un potencial infinito (diferentemente infinito, pero aún así infinito) en el origen.

En relatividad general, por otro lado, encontrarías si (digamos) tomas una capa clásica con una masa, una carga y un radio, y lentamente disminuyes el radio, entonces el potencial, el campo eléctrico y todo se vuelve muy grande, con mucha energía o masa. Cuando esa masa se vuelve lo suficientemente grande, el sistema se convierte en un agujero negro cargado. Entonces no hay un "origen", solo la superficie del agujero negro. El potencial en la superficie del agujero negro es finito. Y la masa más pequeña posible es enorme, comparada con la masa de un electrón.

Y, en realidad, finalmente no lo sabemos. No sabemos cómo la mecánica cuántica y la relatividad general funcionan juntas. Entonces, finalmente no lo sabemos.