¿Puedes decir solo por su gravedad si la Luna está arriba o debajo de ti?

Si se encuentra en un lugar de la Tierra donde la Luna se encuentra actualmente directamente encima o directamente debajo de usted, experimentará una aceleración gravitatoria ligeramente reducida debido a la gravedad de la Luna. Esto es lo que causa las mareas. Mi pregunta aquí es cuán difícil es decidir con una medida si la Luna está arriba o debajo de ti.

Debes hacer la medición usando solo la interacción gravitacional de la Luna, no por observación óptica o de radio que es mucho más fácil. Supongamos que si desea que un mago malvado haya convertido la Luna en materia oscura completamente transparente que no interactúa electromagnéticamente de ninguna manera, sin cambiar su masa y órbita significativamente.

Hagamos algunos cálculos. La Luna cambia la aceleración gravitacional en aproximadamente$2 G m r d^{-3} \approx 9\cdot 10^{-7} \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, dónde$G$es la constante de gravedad,$m$es la masa de la Luna,$r$es el radio de la Tierra, y$d$es el radio de la órbita de la Luna. (Este es un cálculo muy simplificado que supone que la Tierra es una esfera rígida perfecta). La diferencia de esta aceleración adicional entre el lado de la Tierra más cercano y el más alejado de la Luna debería ser aproximadamente$12 G m r^2 d^{-4} \approx 9\cdot 10^{-8} \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$.

En comparación con esto, se dice que la Tierra tiene una variación gravitacional local del orden de magnitud de$10^{-3} \mathrm{m}/\mathrm{s}^2$debido a la superficie irregular, y eso sin contar los efectos aún mayores de la variación de latitud y altitud. Como sabes, debido a la rotación de la Tierra y la forma elíptica de la Tierra donde el radio ecuatorial es mayor que el radio polar, la aceleración depende mucho de la latitud.

Ahora podría imaginar una medición que se hace con cuidado en latitud constante (digamos solo en el ecuador) y en altitud constante de alguna manera, pero parece difícil explicar las variaciones locales, por lo que uno pensaría que las variaciones locales siempre empequeñecen el efecto de la luna. Sin embargo, la Luna aún causa mareas fácilmente observables en los océanos, a pesar de que el cálculo anterior muestra que los efectos de las mareas son tres órdenes de magnitud más débiles que las variaciones locales. Esto muestra que las variaciones locales probablemente sean constantes en el tiempo, por lo que si mide la aceleración gravitacional en una ubicación fija, es probable que estas variaciones locales no le afecten mucho. Incluso sin el océano, imagino que la magnitud de la aceleración gravitacional debería ser posible de medir con mucha precisión. Del cálculo anterior parece que la Luna' El efecto de marea es hasta un 9 por ciento más fuerte en el lado más cercano a la Luna que en el lado más lejano. Esto sugiere que tal medida debería ser posible, pero entonces podría haber otros efectos de distracción en los que no pensé.

En cualquier caso, está claro que debe ser posible algún tipo de medición: en el peor de los casos, puede enviar una sonda de cohete no tripulada a la supuesta ubicación de la Luna, donde su efecto gravitacional debería ser obvio. Sin embargo, una sonda espacial de este tipo es muy costosa. Es por eso que no pregunto si tal medida es posible, sino qué tan fácil es.