¿Puede una red arbitraria de circuitos RLC tener ceros de fase no mínimos?

De manera más general, ¿es cierto que cada función de transferencia que representa una red de circuitos RLC es de fase mínima?

Sospecho que la respuesta es cierta, pero me está costando demostrarlo.

No es cierto porque puede tener un filtro de paso total RLC . Para ver un ejemplo más específico, analicemos una topología de ecualizador de fase de celosía :

Escribiendo las ecuaciones de nodo:

$$(V_A - 1)Z^{-1} + (V_A - 0)Z'^{-1} = 0\quad{\rm (node\ A)}$$

$$(V_B - 1)Z'^{-1} + (V_B - 0)Z^{-1} = 0\quad{\rm (node\ B)}$$

Reordenando:

$$V_A(Z^{-1} + Z'^{-1}) - Z^{-1} = 0\quad{\rm (node\ A)}$$

$$V_B(Z^{-1} + Z'^{-1}) - Z'^{-1} = 0\quad{\rm (node\ B)}$$

Restando las ecuaciones y reordenando:

$$(V_A - V_B)(Z^{-1} + Z'^{-1}) - (Z^{-1} - Z'^{-1}) = 0$$

$$(V_A - V_B)(Z^{-1} + Z'^{-1}) = Z^{-1} - Z'^{-1}$$

$$V_A - V_B = \frac{Z^{-1} - Z'^{-1}}{Z^{-1} + Z'^{-1}}$$

Por linealidad y definición de función de transferencia:

$$H(s) = \frac{Z(s)^{-1} - Z'(s)^{-1}}{Z(s)^{-1} + Z'(s)^{-1}}$$

Si usamos un inductor$L$como impedancia$Z$y un capacitor como impedancia$Z'$obtenemos:

$$Z(s) = sL$$

$$Z'(s) = (sC)^{-1}$$

$$H(s) = \frac{\frac{1}{sL} - sC}{\frac{1}{sL} + sC}$$

$$H(s) = \frac{\frac{1 - s^2LC}{sL}}{\frac{1 + s^2LC}{sL}}$$

$$H(s) = \frac{1 - s^2LC}{1 + s^2LC}$$

$H(s)$tiene ceros en$s = \pm(LC)^{-\frac{1}{2}}$, por lo que no puede ser fase mínima.

[Agregado el 15/10]

Se pueden obtener ceros en el semiplano derecho incluso cuando se limitan a circuitos RC. Para ver eso, considere la función de transferencia de este filtro:

Podemos obtener los voltajes de los nodos directamente, porque ambas ramas son divisores de voltaje generalizados :

$$\displaystyle V_A = \frac{(sC)^{-1}}{R + (sC)^{-1}}$$

$$\displaystyle V_B = \frac{R}{R + (sC)^{-1}}$$

$$\displaystyle H(s) = V_A - V_B = \frac{(sC)^{-1} - R}{R + (sC)^{-1}} = \frac{1 - sRC}{sRC + 1} = -\frac{s - (RC)^{-1}}{s + (RC)^{-1}}$$

Las restricciones generales en las funciones de transferencia RC (y RL) son:

1. Todos los polos son simples y están en el eje real negativo.
2. Todos los residuos son reales pero pueden ser positivos o negativos.
3. Los ceros pueden estar en cualquier parte del plano s, pero los ceros complejos deben estar en pares conjugados.
4. La frecuencia cero e infinita no pueden ser polos.

(Extraído de la página 5 de La síntesis de las funciones de transferencia de voltaje , la mejor referencia en línea que he podido encontrar).