Prueba matemática de que el voltaje RMS multiplicado por la corriente RMS da una potencia media

Ley de Ohm

$$1: V(t) = I(t)R$$

La disipación de potencia instantánea es producto del voltaje y la corriente.

$$2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

Sustituya 1 en 2 para obtener potencia instantánea a través de una resistencia en términos de voltaje o corriente:

$$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

La potencia promedio es, por definición, la integral de la potencia instantánea durante un período, dividida por ese período. Sustituya 3 en eso para obtener la potencia promedio en términos de voltaje y corriente.

$$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\ $$

Definición de corriente RMS

$$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ Cuadrar ambos lados $$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ Multiplique por R para encontrar la ecuación 4 para la potencia promedio $$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ Definición de voltaje RMS $$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ Cuadrar ambos lados $$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\ $$ Divida por R para encontrar la ecuación 4 para la potencia promedio $$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ Multiplica las expresiones 7 y 10 para la potencia media $$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$ raíz cuadrada de ambos lados $$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ QED

La prueba muy simple (en el caso de muestreo discreto en la pregunta) es mediante la sustitución de E / R por I en la ecuación RMS

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

y álgebra muy simple.

Y sí, esto es cierto porque se especifica que tenemos una carga puramente resistiva, por lo que no hay problema de ángulo de fase ni armónico presente en I que no esté también presente en E.

EDITAR

definición de RMS para puntos discretos (de Wikipedia):

$$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$$

asi que

$$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

y

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

y por la ley de Ohm

$$I_i = V_i/R$$ sustitución:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

después:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

Sacando el 1/R^2

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

asi que:

$$V_{RMS} * I_{RMS}$$ es:

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

distribuyendo el 1/R:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

Usando de nuevo la sustitución de la Ley de Ohm:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

cual es:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

La clave es que para una carga resistiva, el voltaje y la corriente están en fase.

Si el voltaje y la corriente son ambos$\sin(t)$, entonces su producto viene dado por la igualdad$\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$. La potencia es una onda sinusoidal del doble de frecuencia, que oscila alrededor de$1/2$. Este es su promedio a lo largo del tiempo (la "media" del "cuadrado"). La raíz del cuadrado medio es$\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$. Ahí es donde obtenemos ese número mágico.

La raíz cuadrática media del voltaje o la corriente son el voltaje y la corriente equivalentes de CC que producirán la misma disipación de potencia a lo largo del tiempo . Si la disipación de potencia media es$1/2$W, entonces tal disipación de potencia puede ser producida constantemente por$\sqrt{2}/2$VCC multiplicado por$\sqrt{2}/2$un CC.

Si la corriente y el voltaje están desfasados ​​90 grados (carga reactiva pura), entonces podemos pensar en uno como si estuviera$\cos(t)$y el otro ser$\sin(t)$. La igualdad aplicable es entonces$\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$. La forma de onda de potencia ya no está "sesgada" para oscilar alrededor$1/2$; su promedio es cero: la energía entra y sale de la carga en semiciclos alternos, a medida que la forma de onda de la energía oscila positiva y negativamente.

Entonces, para responder a la pregunta, el voltaje y la corriente RMS se definen en función de la potencia media: cada uno se deriva de la raíz cuadrada de la potencia media. Multiplicando dos valores que se obtienen de la raíz cuadrada de la potencia media, se recupera la potencia media.

Simplifiquemos más este problema sin matemáticas. Tome este circuito simple que produce una forma de onda cuadrada con un período de 10 segundos.

el voltaje es asi

y la corriente es

Entonces la forma de onda de potencia será

Cuando el interruptor está abierto, no se entrega energía a la resistencia, por lo que la energía total es de 10 vatios X 5 segundos = 50 julios, y es lo mismo que aplicamos 5 vatios en 10 segundos.

y esta es la potencia media. El voltaje promedio es de 5 voltios y la corriente promedio es de 0,5 amperios. Haciendo un cálculo simple, la potencia promedio resulta de 2,5 vatios o 25 julios, lo cual no es cierto.

Así que hagamos este truco CON ESTE ORDEN:

1. Primero eleva al cuadrado el voltaje (y la corriente)

2. Segundo toma el promedio del cuadrado

3. Luego saca la raíz cuadrada del promedio

El cuadrado de la forma de onda de voltaje será

Y el promedio es 50V ^ 2 (no 50 ^ 2 voltios). A partir de este punto olvídate de la forma de onda. Solo valores. La raíz cuadrada del valor anterior es 7,071…voltios RMS. Haciendo lo mismo con la corriente se encontrara 0,7071..A RMS y la potencia media sera 7,071V x 0,7071A= 5 Watt

Si intenta hacer lo mismo con la potencia RMS, el resultado será 7.071 vatios sin sentido.

Entonces, la única potencia de calentamiento equivalente es la potencia promedio y la única forma de calcular es usar los valores rms de voltaje y corriente