Prueba de que el desplazamiento de red 1d por fonones se da un±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdun±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdu_{n\pm 1}(t) = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm ikd}

Question

Prueba de que el desplazamiento de red 1d por fonones se da un±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdun±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdu_{n\pm 1}(t) = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm ikd}

fonones
Física
cristales
materia Condensada
Transformada de Fourier
física-del-estado-sólido

mikkel rev

Busqué en «Kittel - Introducción a la física del estado sólido», Wikipedia y Google la derivación que: Un fonón de número de onda $k$ desplaza el $s$ -th átomo en una red cristalina monoatómica 1d por una distancia $u(s,k)$ dada por:

{tu}_{norte \pm 1} (t) = A_{k} {mi}^{i ω_{k} t} {mi}^{i k norte d} {mi}^{\pm i k d}

$u_{n\pm 1}(t) = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm i k d}$ Las dos primeras de las fuentes anteriores escriben la ecuación de movimiento

metro \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} {tu}_{s} = C ({tu}_{s + 1} + {tu}_{s - 1} - 2 {tu}_{s}),

$m \frac{\partial ^2}{\partial t^2}u_s = C(u_{s+1} + u_{s-1} - 2u_{s}),$ dónde

m

$m$ es la masa del

s

$s$ -átomo y

C

$C$ es la constante del resorte.

Luego, Kittel continúa escribiendo la solución sin pasar por las matemáticas, diciendo que es la solución de una ecuación en diferencias. Wikipedia, por otro lado, se disculpa diciendo que "esto requiere una manipulación significativa usando las relaciones de ortonormalidad y completitud de la transformada discreta de Fourier", y luego se acobarda escribiendo la solución. Pero Internet necesita ver la prueba.

Esperaba que alguien tuviera la amabilidad de probar la fórmula anterior, con suerte a fondo, utilizando los primeros principios del cálculo, el análisis de Fourier, el análisis real, la mecánica clásica, la mecánica newtoniana, el álgebra lineal, la teoría de la oda y las ecuaciones en diferencias. No he usado el análisis de Fourier durante aproximadamente un año, por lo que cuando se usan teoremas, sería bueno marcarlo en la derivación. A mí me parece que una forma es omitir el análisis de Fourier y en su lugar resolver la ecuación de oda y diferencia, pero no sé cómo hacerlo.

Esta es la descripción COMPLETA del problema.

kyle kanos

¿ No se encuentra el exponencial a través de funciones de prueba ? ¿O estoy malinterpretando qué es lo que te confunde?

usuario10851

Este es un problema de mecánica ondulatoria estándar que estoy 99% seguro de que está cubierto, por ejemplo, Waves by Crawford, si desea una referencia.

jon custer

Ashcroft y Mermin fueron bastante sencillos con esto.

Respuestas (2)

Prueba de que el desplazamiento de red 1d por fonones se da un±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdun±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdu_{n\pm 1}(t) = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm ikd}

¿ No se encuentra el exponencial a través de funciones de prueba ? ¿O estoy malinterpretando qué es lo que te confunde?
Este es un problema de mecánica ondulatoria estándar que estoy 99% seguro de que está cubierto, por ejemplo, Waves by Crawford, si desea una referencia.

AG · Answer 1

Supongo que, como dijo Peter Diehr, sería mejor si sacaras tu lápiz. Entonces, para ayudarlo en esto, he formulado las siguientes preguntas para guiarlo a través del problema:

Trabajo preliminar :

¿Cuál es la definición de la transformada discreta de Fourier para $u_n$ ?

En realidad wikipedia lo da:
${tu}_{norte} (t) = \sum_{k = 1}^{norte} {tu}_{k} (t) {mi}^{i k norte d}$ $u_n(t) = \sum_{k=1}^{N} U_k(t)~ e^{iknd}$

2) ¿Cuál es la definición de la transformada inversa (es decir, $U_k = f(u_n)$ ?

wikipedia también lo da (solo necesita un pequeño ajuste para adaptarlo a nuestro problema): https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform
${tu}_{k} (t) = \frac{1}{norte} \sum_{norte = 1}^{norte} {tu}_{norte} (t) {mi}^{- i k norte d}$ $U_k(t) = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} u_n(t)~ e^{-iknd}$

¿Cuál es la condición periódica en la posición (crucial)? Suponemos que los átomos están distribuidos uniformemente (las posiciones promedio de dos átomos consecutivos están separadas por una distancia $d$ , por lo tanto, la $d$ en la definición de wikipedia de la transformada de Fourier).

Sin periodicidad, la transformada de Fourier no tendría sentido.

$x(1)=0=x(d(N+1)) \Rightarrow \exp(-ix(1))=\exp(-ix(d(N+1)))=1$ . En realidad, es mejor escribir la transformada de Fourier con $\exp\left(\frac{-2i\pi nd}{N}\right)$ que con $e^{iknd}$ para expresar claramente la periodicidad (lo mismo para la transformada inversa). Además, es más estándar expresar la suma de $0$ a $N-1$ en lugar de $1$ a $N$ .

4)Condición de ortogonalidad: ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma?

\frac{1}{norte} \sum_{norte = 0}^{norte - 1} Exp (- i k norte d) Exp (- i k^{'} norte d)

$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \exp(-iknd) \exp(-ik' nd)$

Consejo : Dos casos : a) $k=k'$ y B) $k\neq k'$ (usar series geométricas)

Volviendo al problema:

Utilizando la transformada de Fourier de $u_n$ y la ecuación de movimiento, debe obtener (trigonometría compleja simple, disculpe el juego de palabras, y sustitución):

2 C \sum_{k = 1}^{norte} {tu}_{k} (porque (k d) - 1) Exp (i k norte d) = metro \sum_{k = 1}^{norte} \frac{d^{2} {tu}_{k}}{{d t}^{2}} Exp (i k norte d)

$2 C \sum_{k=1}^{N} U_k ~ \left(\cos(kd) - 1\right) ~ \exp(iknd) = m~\sum_{k=1}^{N} \frac{d^2U_k}{{dt}^2} \exp(iknd)$

¿También sientes la necesidad de sacar el símbolo de la sumatoria? ¡Aquí es donde entra la ortogonalidad! En realidad, para sacar el símbolo de suma, necesitas... sumar.

paso 1: multiplicar la ecuación por $\exp(-ik'nd)$

paso 2: ¿qué suma se supone que debemos hacer? Es mejor que lo averigües sin mirar el spoiler --- piensa en nuestro trabajo preliminar, especialmente en la pregunta 4).

$\sum_{n=1}^{N}$ en ambos lados => ortogonalidad deja un resultado, la ecuación para $k=k'$

Solución final :

Resolver :

2 C {tu}_{k} (porque (k d) - 1) = metro \frac{d^{2} {tu}_{k}}{{d t}^{2}}

$2C~U_k ~ \left(\cos(kd) - 1\right) = m~ \frac{d^2U_k}{{dt}^2}$

wikipedia da la respuesta: https://en.wikipedia.org/wiki/Phonon . no olvides eso $kd$ es una constante para un dado $k$ (por lo tanto para cada ecuación).

Editar (para resolver esta pregunta):

Entonces, la solución es, por supuesto, de la forma:

{tu}_{k} = A_{k} {mi}^{i ω_{k} t}

$U_k = A_k e^{i\omega_kt}$

Y si el sistema se excita en uno de sus modos normales (frecuencias $\nu_k = \frac{\omega_k}{2\pi}$ ), el desplazamiento se reduce a una sola componente:

{tu}_{norte} = A_{k} {mi}^{i (ω_{k} t + k norte d)}

$u_n = A_k e^{i \left(\omega_k t + knd \right)}$

y hay un cambio de fase de $e^{\pm ikd}$ entre dos nudos consecutivos de la cadena.

{tu}_{norte + 1} = {tu}_{norte} {mi}^{i k d}

$u_{n+1}=u_n e^{ikd}$

Gracias, quiero aceptar esto como la respuesta. Fue divertido pasar por todo esto, y espero que otros hagan lo mismo. Solo para asegurarme de que he entendido correctamente, estamos de acuerdo en que $U_k(t) = A_k e^{i\omega t}$ para cada número de onda $k$ . Sin embargo, si asumimos que las oscilaciones son sinusoidales compuestas de exactamente un número de onda $k$ , entonces $u_{n\pm 1} = \sum_{j=k}^k A_j e^{i\omega_j t} e^{i (n\pm 1)j d} = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm i k d}$ ? Si esto es correcto, ¿tal vez agregarlo a la respuesta? Así llegamos a la ecuación del título, y la que plantea Kittel. ¿Estás de acuerdo? Gracias por tu tiempo.
Ok, he agregado la respuesta a este comentario a la respuesta principal. Así que estoy de acuerdo con lo que has dicho. Esta respuesta está destinada a que haga ejercicio con DFT y (solo transformada de Fourier) para comprender cómo pescar por su cuenta la próxima vez, además de alguna reflexión sobre las condiciones periódicas del problema. Y, ha sido un placer.

Pedro Diehr · Answer 2

Pedro Diehr

Comienza resolviendo la relación de recurrencia; esto puede ser bastante complicado, y Kittel lo omite ya que no contribuye a la discusión física. La física ya ha sido capturada en el desarrollo de la ecuación.

Todo sobre cómo resolver relaciones de recurrencia: < https://en.m.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation >

mikkel rev

Esta respuesta no es útil, pero no puedo rechazarla porque mi calificación es demasiado baja. El problema es en primer lugar que no te creo, déjame explicarte por qué es así. La solución de la relación de ocurrencia es

u_{s} = r_{\pm}^{s}

$u_s = r_\pm^s$ dónde

r_{\pm} = \frac{m ω^{2}}{2 C} \pm \sqrt{(\frac{m ω^{2}}{2 C})^{2} + \frac{m ω^{2}}{C}}

$r_\pm = \frac{m \omega^2}{2C} \pm \sqrt{(\frac{m \omega^2}{2C})^2 +\frac{m \omega^2}{C}}$ . Si sacas un lápiz descubrirás que de alguna manera tienes que probar

r_{\pm} = \exp (\pm i k a)

$r_\pm = \exp(\pm ika)$ . Siéntase libre de usar esto para demostrar que tiene razón.

mikkel rev

En realidad, hay un error tipográfico, debería ser

r_{\pm} = 1 - \frac{m ω^{2}}{2 C} \pm \sqrt{(\frac{m ω^{2}}{2 C})^{2} + \frac{m ω^{2}}{C}}

$r_{\pm} = 1- \frac{m \omega^2}{2C} \pm \sqrt{(\frac{m \omega^2}{2C})^2 + \frac{m \omega^2}{C}}$ . Lo sentimos, no dude en utilizar esta información para demostrarnos que tiene razón.

Pedro Diehr

Ahhh... Eres bienvenido a sacar tu propio lápiz. En mi experiencia, uno aprende haciendo su propio trabajo. Los felicito por querer ver la derivación completa. Publica de nuevo, mostrando dónde estás atascado.

Prueba de que el desplazamiento de red 1d por fonones se da un±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdun±1(t)=Akeiωkteiknde±ikdu_{n\pm 1}(t) = A_ke^{i\omega_k t} e^{i knd}e^{\pm ikd}

mikkel rev

kyle kanos

usuario10851

jon custer

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AG

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Pedro Diehr

mikkel rev

mikkel rev

Pedro Diehr

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