Prueba de la pérdida de energía fotónica debido al corrimiento al rojo cosmológico

Su prueba es obviamente correcta en un marco de referencia local para un universo plano que no acelera (por ejemplo, en el modelo de Milne), porque su ejemplo es equivalente a las galaxias que simplemente se separan en un espacio que no se expande. La prueba es aún más sencilla, porque una galaxia emite en todas direcciones. Como resultado, su impulso y energía adicionales son cero, pero el fotón opuesto está igualmente desplazado hacia el azul. Más simple aún, en el marco de la galaxia emisora, el fotón emitido nunca se desplaza hacia el rojo sin importar qué tan lejos haya ido.

Sin embargo, la energía global no se conserva, porque todos los fotones emitidos (cuando se detectan) aparecen desplazados hacia el rojo para todos los observadores del universo. Esto es fácil de entender para un universo subluminal cerrado. El fotón opuesto que está desplazado hacia el azul en su marco, le llegará profundamente desplazado hacia el rojo después de un círculo completo. En otras palabras, si miras una galaxia directamente o en la dirección opuesta (alrededor del círculo global), de cualquier manera parecería alejarse de ti debido a la expansión del espacio.

La energía global no tiene una única definición universalmente aceptada en la Relatividad General, por lo que la conservación de la energía global es un tema de debate. Una opinión es que la conservación de la energía se deriva del teorema de Noether como consecuencia de la uniformidad del tiempo. La otra cara de este teorema es que, si el tiempo no es uniforme, la energía no se conserva. Para procesos reversibles, esto puede verse simplemente como "energía potencial". Por ejemplo, el tiempo se mueve más lentamente cerca de la Tierra. Por esta razón, la energía se libera cuando las cosas se caen. Alternativamente, esto puede verse como una transferencia de la "energía gravitacional potencial" a la energía cinética y viceversa, porque podemos revertir el proceso y todo se pone a cero durante un ciclo completo. Bueno, la expansión del universo no es reversible (al menos durante nuestra vida), pero si lo fuera,

Primero, los fotones a medida que viajan desde lejanas galaxias en retroceso, eventualmente viajarán a través de regiones del espacio donde no hay materia que tenga efectos gravitacionales para resistir la expansión del universo. En estas regiones, entre los cúmulos de galaxias, el fotón viaja en el espacio en expansión y la longitud de onda del fotón también se estira. Su frecuencia disminuye, y también su energía.

La longitud de onda de los fotones se alarga proporcionalmente a la expansión del universo. Su energía disminuye por su recíproco. Así que la energía simplemente desaparece.

La cosmología no tiene conservación de la energía.

Según GR, la conservación de la energía total no es válida a menos que el universo sea asintóticamente plano.

Según GR, el teorema de Noether se rompe porque la simetría de traslación del tiempo no es válida.

No creo que la solución propuesta por tu profesor sea correcta. En primer lugar, no tenemos que probar que la energía se conserva, porque estamos tomando en consideración dos marcos de referencia diferentes, por lo que la energía ni siquiera debería ser igual, aunque relacionable, como mostraremos. En segundo lugar, creo que la prueba es conceptualmente incorrecta, porque los fotones solo tienen una frecuencia cuando te apegas a un marco. No obstante, se podría pensar en demostrarlo diciendo que el fotón tiene una frecuencia$f$al principio y una frecuencia$f^{'}$después de algún tiempo, por lo que el cambio en el momento del fotón es$\Delta p = \frac{h}{c} \Delta f$, por lo que en la galaxia debe ser igual y opuesto, es decir$\ m \Delta v = - \Delta p$. Usando su resultado para un pequeño cambio en la energía cinética, obtenemos$\Delta K = v m \Delta v = - v \Delta f \frac{h}{c}$, que no suma cero con el cambio de energía del fotón, que es$\Delta E= h \Delta f$Tercero, si no está convencido de mi segundo comentario, esta prueba puede parecer que funciona porque estamos en el límite de velocidades bajas, ya que la experiencia nos dice que la energía debería ser igual después de todo, pero al reemplazar el clásico cambio Doppler y el energía cinética con el equivalente relativista, vemos que las ecuaciones difieren. Habiendo dicho que la conservación de la energía es verdadera si nos atenemos a un solo marco, y que en este marco la energía del fotón es siempre la misma, podemos mostrar, sin embargo, usando la transformación de$E$de un cuadro a otro, que el desplazamiento doppler obedece a esta ley.

El desplazamiento Doppler relativista está dado por:

$f = \sqrt {\frac{1+\beta}{1-\beta}} f^{'}$

Dónde$\beta= v/c$. Esta ecuación se puede obtener considerando simultáneamente la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud. De esto obtenemos una relación para la energía en los dos marcos:

$E= \sqrt {\frac{1+\beta}{1-\beta}} E^{'}$

Ahora, la ecuación para la transformación de$E$y$p$tomar la misma forma para los de$x$y$t$, y podemos escribir:

$E = \gamma (E^{'}+ vp^{'})$

Para un fotón tenemos$E=pc$, ya que su masa es cero; por lo que la ecuación anterior se convierte en:

$E= \frac{1+ \beta}{\sqrt{1- {\beta}^2}} E^{'}$

$\Rightarrow E= \sqrt {\frac{1+ \beta}{1-\beta}}$

Como debería.