Para simplificar, podríamos imaginarnos de pie en el polo norte para que no tengamos que preocuparnos por la rapidez con la que nos movemos en relación con el campo gravitatorio de la tierra.
Ahora, calcular cuánto más rápido marcará nuestro reloj si la tierra "desapareciera mágicamente" de repente es, en principio, un simple ejercicio de cálculo. Lo mismo ocurre con el Sol.
Ahora, si llevamos las cosas un paso más allá, las cosas se ponen más difíciles. Calcular a qué profundidad nos encontramos en el campo gravitatorio combinado de todos los objetos masivos de la Vía Láctea no es una tarea sencilla.
Para hacer una pregunta bien definida:
El tamaño del efecto relativo de la dilatación del tiempo gravitatorio (cuando es pequeño), en comparación con un reloj en el infinito, es , dónde es el cambio de potencial
A continuación, puede obtener un efecto de orden de magnitud aproximado para cualquier situación que desee considerar.
Por ejemplo, para la posición del Sol en la Vía Láctea, un valor aproximado para el potencial gravitatorio es menos unos pocos J/kg - lo que lleva a un efecto de dilatación del tiempo de unas pocas partes en . es decir, los relojes van más lentos en la posición del Sol en la Vía Láctea por algunas partes en en comparación con un reloj en el infinito (donde el infinito solo significa fuera del potencial de la Vía Láctea). El tamaño del efecto aumenta a medida que uno se acerca al centro galáctico, hasta un máximo de unas pocas partes en , aunque si te mueves arbitrariamente cerca del agujero negro central, entonces la dilatación del tiempo puede volverse arbitrariamente grande.
El potencial gravitatorio es, por supuesto, aditivo, por lo que si desea comparar la frecuencia del reloj en la posición del Sol en la Vía Láctea con la frecuencia del reloj en algún vacío cósmico, entonces tendría que agregar el potencial en la posición de la Vía Láctea en su cúmulo local. y supercúmulo. Una idea del tamaño máximo de este efecto podría provenir del uso del potencial gravitatorio en el centro de una esfera uniforme de masa. y radio , cual es . El factor numérico de cambiará un poco para diferentes distribuciones masivas.
La masa total y el radio del supercúmulo de Virgo son y Mpc respectivamente. Por lo tanto, el potencial en el centro también es de unos pocos J/kg.
Por lo tanto, los efectos aditivos del Sol como parte de la Vía Láctea y el supercúmulo de Virgo suman no más de aproximadamente 1 parte en en términos de dilatación del tiempo (en comparación con un reloj que funciona en algún lugar en un "vacío").
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