¿Cuánto tiempo pasa en el universo exterior al caer en un agujero negro?

Básicamente, está preguntando lo siguiente: si alguien cae de la Tierra desde algún lugar más allá del horizonte de eventos de un agujero negro, ¿cuánto tiempo después de que se hayan ido puede un observador en la Tierra seguir señalándole con un haz de luz?

La respuesta, por supuesto, depende exactamente de qué tan lejos esté la Tierra del agujero negro. También se olvida a menudo que no es solo la luz que les llega antes de que el observador que cae alcance el horizonte de eventos, sino que también hay un poco más que agregar en el tiempo (adecuado) que le toma al observador que cae viajar desde el horizonte de eventos hasta la singularidad.

La respuesta en todos los casos es que hay un tiempo finito disponible, así que no, la persona que cae no mira hacia atrás y ve pasar los eones cósmicos.

La razón de agitar la mano es que, desde la perspectiva del tiempo de coordenadas de Schwarzschild, tanto la persona que cae como los rayos de luz se aproximan al horizonte de sucesos a lo largo de una asíntota exponencial. Los rayos de luz siempre viajan más rápido, por lo que su$dt/dr$siempre es menos profundo y, por lo tanto, es posible que atrapen al observador que cae, siempre que el retraso en enviar el haz de luz no supere un valor crítico finito. O para decirlo de otra manera; puede construir un cono de luz pasado desde cualquier punto en el horizonte de eventos (o la singularidad similar al espacio) y abarca solo un tiempo finito en cualquier lugar fuera del agujero negro.

Los detalles completos y muy arenosos se resolvieron (para un agujero negro de Schwarzschild) en https://physics.stackexchange.com/a/396157/43351

Para el caso de la persona en caída libre desde una posición$r_0$, luego el lapso de tiempo visto por la persona que cae cuando mira hacia atrás$r_0$, antes de que lleguen a la singularidad, está dada por

Tenga en cuenta que como$r_0$se hace más grande entonces por supuesto$\Delta t$se hace mas grande y se acerca$\Delta t \simeq r_s \pi(r_0/r_s)^{3/2}/2c$, que es solo el tiempo propio de caída libre (es decir, medido en un reloj llevado por el objeto que cae) para que un objeto caiga en un agujero negro. es decir, podrías ver ese período de tiempo en el futuro de la Tierra, ¡pero solo porque habías pasado ese tiempo cayendo en el agujero negro!

Editar: para abordar la pregunta de Jonathan en los comentarios. Tome un BH de 10 masas solares con$r_s=30$kilómetros Si se tarda 1 hora (tiempo adecuado) en "caída libre" radialmente (las fórmulas anteriores son para caída radial), entonces$r_0 = 2.42\times 10^{9}$metro. La fórmula anterior muestra que$\Delta t$es de 1 hora a tres higos sig. La razón de esto es que en tal trayectoria, el objeto que cae pasa una fracción insignificante de su tiempo de caída en cualquier lugar cerca del agujero negro, por lo que los efectos GR son insignificantes.