Pregunta sobre la presión de radiación.

Podría aventurarme en algunas matemáticas que están ligeramente por encima de lo que necesita, pero quería mostrarle la razón detrás de la ecuación correcta para usar. Para empezar, la presión debida a la radiación, en el sentido más general, viene dada por

$$P_{\mathrm{absorption}} = \frac{\langle S\rangle}{c} \cos(\theta)$$ $$P_{\mathrm{reflection}} = 2\frac{\langle S\rangle}{c} \cos^2(\theta)$$

La ecuación superior representa el caso en el que algo de luz incide en tu objeto y la luz se absorbe, y la ecuación inferior representa el caso en el que la luz incide y rebota en tu objeto (en realidad, se vuelve a emitir). Su caso es la ecuación inferior, así que trabajaré con eso a partir de ahora y eliminaré el subíndice de reflexión. Sin necesidad de explicar exactamente qué es, solo acepta que$\langle S\rangle$es la energía promedio del fotón que se absorbe o emite. Ahora, eso es para un solo fotón. Si tenemos muchos fotones, generalmente se dice que la distribución de energía de todos los fotones juntos está descrita por alguna función, como$I_\lambda$(el subíndice se refiere a la longitud de onda). Entonces, podemos definir la presión total no solo integrando todas las longitudes de onda de todos los fotones, sino también, lo que es más importante, todas las direcciones en las que los fotones pueden golpear o ser emitidos .

$$P = \frac{2}{c}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} I_\lambda(\lambda) \cos^2(\theta)\sin(\theta)\:d\theta\:d\phi\:d\lambda$$

Tenga en cuenta ahora que hemos reemplazado$\langle S\rangle$con$I_\lambda(\lambda)$. Además, dado que asumimos que se trata de presión sobre una superficie plana, no estamos integrando todos los ángulos, sino solo la mitad de ellos.$-$cualquier fotón, para golpear la vela solar, tiene que venir de la dirección en la que mira la vela, y solo puede reflejarse en la dirección de donde vino, es decir, estamos excluyendo fotones "detrás" de la vela. Por esa razón, el$d\theta$integral solo va a$\pi/2$.

Si no entiende las matemáticas en este punto, está bien, pero aquí está la conclusión importante: si solo integráramos todas las longitudes de onda, obtendría la ecuación sin las tres que enumeró. Lo que eso significa es que la ecuación sin los tres no tiene en cuenta todos los ángulos y orientaciones posibles de los fotones entrantes. Simplemente asume que todos sus fotones golpean su superficie perpendicularmente y luego rebotan perpendicularmente. Por supuesto, esto no es físicamente exacto ya que los fotones pueden entrar desde una variedad de ángulos.

Si haces las integrales de ángulo, encuentras que obtienes lo siguiente:

$$P = \frac{2}{c}\int_0^{2\pi}\:d\phi \int_0^{\pi/2} \cos^2(\theta)\sin(\theta)\:d\theta\int_0^\infty I_\lambda(\lambda)\:d\lambda$$

$$P = \frac{2}{c}\frac{2\pi}{3}\int_0^\infty I_\lambda(\lambda)\:d\lambda$$

Puedes ver allí en la última línea que los tres salieron de esas integrales sobre todos los ángulos posibles (específicamente el$d\theta$integral). Ahora, obtienes el resto de esto asumiendo algún tipo de función para$I_\lambda(\lambda)$que describe la distribución de energía de los fotones en función de la longitud de onda. Dado que su luz proviene de una estrella, sabe que solo será la distribución de Planck (específicamente la ecuación para$B_\lambda(\lambda,T)$). Esta integral no es trivial, pero si vuelves a ejecutar las matemáticas, encontrarás

$$P = \frac{2}{c}\frac{2\pi}{3}\int_0^\infty \frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{e^{hc/\lambda k_BT}-1}\:d\lambda = \frac{2}{c}\frac{2\pi}{3}\frac{\sigma T^4}{\pi}$$

$$\boxed{P = \frac{4\sigma T^4}{3c}}$$

Esta es la verdadera ecuación para la presión de radiación en la vela solar, suponiendo que se produzca la reflexión. Esto incluye los tres porque necesitamos tener en cuenta los fotones que golpean y rebotan en todos los ángulos posibles (para la vela solar). Tenga en cuenta que una diferencia importante aquí es que mi ecuación ya tiene el "2" adicional debido a la reflexión. Su última ecuación difiere de la mía en que arroja ese "2" adicional para la reflexión. Entonces, o incluyó erróneamente el factor "2" dos veces, o (más probablemente) su cuenta para la reflexión en todos los ángulos, no solo en todos los ángulos posibles . Recuerde arriba, solo integramos el$d\theta$ángulo hasta$\pi/2$por la razón allí explicada. Si integramos hasta$\pi$para incluir todos los ángulos, también obtendríamos un "2" adicional y mi ecuación coincidiría con la última. Sin embargo, sus velas solares no reciben ni reemiten fotones en todos los ángulos, por lo que mi ecuación difiere por ese factor de "2".

De hecho, creo que se supone que debes asumir que la vela solar está desplegada mientras la nave espacial aún está bastante lejos de la gigante roja (a pesar de que está "demasiado cerca"), porque de lo contrario el problema es extremadamente difícil. Al menos si estás lejos de la gigante roja, puedes asumir que toda la luz incide a lo largo de la normal a la vela, y si es un espejo, también se reflejará de la misma manera. En esa situación (solamente), puede simplemente tomar la densidad de flujo radiativo (L / 4pi D^2), dividirla por c (para obtener un flujo de impulso), multiplicarla por el área A y duplicarla (para tener en cuenta la recta reflejo posterior), lo que da como resultado una expresión que es como la de Zephyr excepto que sin el 1/3 (que proviene de asumir que solo estamos hablando de un instante y está justo en la superficie de un cuerpo negro sin oscurecimiento de las extremidades,

La razón por la que creo que esto es lo que se pretende es porque solo entonces no es esencial tratar D en detalle. Entonces se vuelve fácil averiguar cuál debe ser el área de la vela, podemos hacerlo con consideraciones de energía. En D grande, la fuerza radiativa será un múltiplo constante de la gravedad, y ese múltiplo debe ser "2" para que la nave espacial regrese al infinito de donde vino (suponiendo que la velocidad original en el infinito era pequeña , o que su objetivo es regresar, cualquiera que sea la velocidad original, ya que estas son las únicas formas en que no necesita saber esa velocidad original). La fuerza gravitatoria es GMm/D^2, por lo que P por A debe ser el doble, donde P se da arriba. La respuesta sale A = 4pi GM mc/L, que es independiente de la D donde se despliega la vela.

La razón por la que es mucho más difícil si no hace que D sea grande es que el flujo incidente ya no está a lo largo de lo normal, por lo que necesita un factor dependiente de r que va desde 1/3 justo en la superficie hasta 1 más lejos. Tendría que integrar el papel de ese factor para obtener la A necesaria, mientras que mi respuesta no necesita nada de eso. Además, si despliegas la vela justo en la superficie, la nave espacial entrará en la estrella y el entorno radiativo se vuelve aún más complicado, sin mencionar la posibilidad de destruir la nave espacial.

Así que no creo que ninguna de esas expresiones sea lo que quieres, porque no puedes simplemente obtener la fuerza en la superficie, necesitas saber la fuerza que lograría que la nave espacial girara, por lo que debe exceder la gravedad. por un factor que sería muy difícil de calcular a menos que tomes D grande.