Pregunta de la olimpiada de física sobre un condensador de carga

Question

Pregunta de la olimpiada de física sobre un condensador de carga

Hans

Este es el problema 1463 de la revista rusa Quant . Lamentablemente, mi ruso no es lo suficientemente bueno, por lo que pido disculpas si la traducción del problema contiene errores.

Problema. Dentro de un condensador de carga plana con distancia entre las placas $d$ una losa débilmente conductora de espesor $h<d$ y resistividad $\rho$ se inserta. El área de las placas y la losa es $S$ (como siempre se supone $d\ll\sqrt{S}$ ). El condensador está cargado a potencial $U_0$ . Luego, las placas del capacitor se cortocircuitan. Encuentre la corriente máxima a través de la losa.

respuesta _ $I_{max}=U_0 S/\rho h$

Obtengo una respuesta completamente diferente. $I_{max}=U_0 S/\rho d$ y piensan que su solución es defectuosa.

Demostremos que su solución no tiene ningún sentido. En la solución oficial dibujan la imagen.

dónde $C=\varepsilon_0S/(d-h)$ y $R=\rho h/S$ , alegando que es equivalente al sistema inicial. Luego dicen que despues del corto circuito el capacitor $C$ (que inicialmente ha sido cargado a voltaje $U_0$ ) se descargará a través de la resistencia $R$ . Esto significa que tomará aproximadamente tiempo $RC$ para que el capacitor se descargue.

Volvamos al sistema inicial. Somos libres de asumir que $\rho\to\infty$ , $h\to 0$ , de modo que $R$ es finito Técnicamente, esto significa que la losa es un aislante muy delgado colocado dentro del capacitor. Entonces, cuando el capacitor tiene un cortocircuito, las cargas de las placas desaparecerán instantáneamente debido al pico de corriente en el cortocircuito. Esto contradice la solución oficial, donde lleva tiempo $RC$ para descargar el condensador.

P: Entonces, ¿cuál de las respuestas es correcta?

Mi solución es la siguiente:

Las cargas en las caras de la losa no pueden cambiar abruptamente, pero las cargas en las placas del capacitor cambiarán abruptamente como resultado del cortocircuito. Entonces, las palabras "justo después del cortocircuito" aquí significan que estamos considerando el sistema cuando este pico de corriente a través del cable que conecta las placas ha ajustado rápidamente las cargas de las placas.

Sean las cargas sobre las placas y las caras de la losa (justo después del cortocircuito) $q_1,Q,-Q,q_2$ (mira la foto). Luego calculamos las cargas iniciales en las superficies de la losa. $\pm Q$ , dónde

q = \frac{{tu}_{0} ε_{0} S}{d - h} .

$Q=\frac{U_0\varepsilon_0 S}{d-h}.$ Luego calcule las cargas en las placas (justo después del cortocircuito) para que la caída de voltaje entre las placas sea

0

$0$ :

\frac{q_{1}}{2 ε_{0} S} d + \frac{q}{2 ε_{0} S} h - \frac{- q}{2 ε_{0} S} h - \frac{q_{2}}{2 ε_{0} S} d = 0,

$\frac{q_1}{2\varepsilon_0 S}d+\frac{Q}{2\varepsilon_0 S}h-\frac{-Q}{2\varepsilon_0 S}h-\frac{q_2}{2\varepsilon_0 S}d=0,$ y se cumple la electroneutralidad

q_{1} + q_{2} = 0.

$q_1+q_2=0.$ De este modo

q_{1, 2} = \mp q \frac{h}{d} .

$q_{1,2}=\mp Q\frac{h}{d}.$ Luego calculamos la fuerza del campo eléctrico dentro de la losa,

mi = \frac{q_{1} + q + q - q_{2}}{2 ε_{0} S} = \frac{{tu}_{0}}{d} .

$E=\frac{q_1+Q+Q-q_2}{2\varepsilon_0 S}=\frac{U_0}{d}.$ Por lo tanto, la densidad de corriente es

j = E / ρ

$j=E/\rho$ y la corriente

I = j S = \frac{U_{0} S}{ρ d}

$I=jS=\frac{U_0 S}{\rho d}$ .

carmesí

@Hans ¿Cómo llegas a la conclusión de que

q_{2, 1} = \pm Q \frac{h}{d}

$q_{2,1}=\pm Q\frac{h}{d}$ ?

Hans

@Crimson primera condición de electroneutralidad

q_{1} + q_{2} = 0

$q_1+q_2=0$ junto con la condición de que la caída de voltaje entre las placas

\frac{q_{1} d - q_{2} d + 2 Q h}{2 ε_{0} S}

$\frac{q_1d-q_2d+2Qh}{2\varepsilon_0 S}$ es

0

$0$ . Resolviendo estas ecuaciones se concluye

q_{2, 1} = \pm Q \frac{h}{d}

$q_{2,1}=\pm Q\frac{h}{d}$ .

carmesí

@Hans Estoy de acuerdo con la condición de neutralidad. ¿Cómo llega a esta expresión para la caída de voltaje entre las placas?

Hans

@Crimson hay 4 platos con cargas,

q_{1}, + Q, - Q, q_{2}

$q_1,+Q,-Q,q_2$ . Acabo de calcular el campo eléctrico usando la conocida fórmula

\frac{σ}{2 ε_{0}}

$\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ , dónde

σ = Q / S

$\sigma=Q/S$ es la densidad de carga superficial. Luego sumo las caídas de voltaje correspondientes entre las placas del capacitor generadas por estas cargas.

carmesí

@Hans, Ah, ya veo. El problema es, en primer lugar, la suposición de que esta caída de voltaje debe ser cero y, en segundo lugar, que la caída de voltaje sobre la resistencia es cero. Antes de desconectar la fuente de alimentación, la caída de voltaje debe ser

U_{0}

$U_0$ . Luego, al acortar, los cargos siguen siendo los mismos. Lo que cambia es la caída de voltaje sobre la resistencia, lo que da como resultado un voltaje total cero.

Hans

@Crimson "El problema es, en primer lugar, la suposición de que esta caída de voltaje debe ser cero", esto no es una suposición, es un hecho, porque las placas están cortocircuitadas de acuerdo con la declaración del problema. Por lo tanto, la caída de voltaje debe ser

0

$0$ . ¿Quizás una imagen ayude?

carmesí

Continuemos esta discusión en el chat .

Hans

@Qmechanic, ¿por qué la pregunta está protegida? Además, ¿por qué se vota tan negativamente sin ninguna explicación?

qmecanico

Hola Hans. Bienvenido a Phys.SE. 1. El software SE no permite que ningún usuario (ni siquiera los usuarios de confianza) vea quién votó qué. 2. En cuanto a la protección, vea esta meta publicación.

Respuestas (3)

Pregunta de la olimpiada de física sobre un condensador de carga

@Hans ¿Cómo llegas a la conclusión de que $q_{2,1}=\pm Q\frac{h}{d}$ ?
@Crimson primera condición de electroneutralidad $q_1+q_2=0$ junto con la condición de que la caída de voltaje entre las placas $\frac{q_1d-q_2d+2Qh}{2\varepsilon_0 S}$ es $0$ . Resolviendo estas ecuaciones se concluye $q_{2,1}=\pm Q\frac{h}{d}$ .
@Hans Estoy de acuerdo con la condición de neutralidad. ¿Cómo llega a esta expresión para la caída de voltaje entre las placas?
@Crimson hay 4 platos con cargas, $q_1,+Q,-Q,q_2$ . Acabo de calcular el campo eléctrico usando la conocida fórmula $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ , dónde $\sigma=Q/S$ es la densidad de carga superficial. Luego sumo las caídas de voltaje correspondientes entre las placas del capacitor generadas por estas cargas.
@Hans, Ah, ya veo. El problema es, en primer lugar, la suposición de que esta caída de voltaje debe ser cero y, en segundo lugar, que la caída de voltaje sobre la resistencia es cero. Antes de desconectar la fuente de alimentación, la caída de voltaje debe ser $U_0$ . Luego, al acortar, los cargos siguen siendo los mismos. Lo que cambia es la caída de voltaje sobre la resistencia, lo que da como resultado un voltaje total cero.
@Crimson "El problema es, en primer lugar, la suposición de que esta caída de voltaje debe ser cero", esto no es una suposición, es un hecho, porque las placas están cortocircuitadas de acuerdo con la declaración del problema. Por lo tanto, la caída de voltaje debe ser $0$ . ¿Quizás una imagen ayude?
@Qmechanic, ¿por qué la pregunta está protegida? Además, ¿por qué se vota tan negativamente sin ninguna explicación?
Hola Hans. Bienvenido a Phys.SE. 1. El software SE no permite que ningún usuario (ni siquiera los usuarios de confianza) vea quién votó qué. 2. En cuanto a la protección, vea esta meta publicación.

carmesí · Answer 1

Después de pensarlo un poco, aquí hay una nueva respuesta:

La respuesta del libro es incorrecta. Tu derivación es correcta.

Probablemente cometieron el mismo error que yo en mi otra respuesta, que ahora creo que es incorrecta. El error que cometí es que ignoré la capacitancia de la resistencia.

Pensé que sería más fácil ver el sistema como dos condensadores con una resistencia en el medio. Sin embargo, sólo hace las cosas más complicadas. Por lo tanto, es más fácil seguir su derivación usando la ley de Gauss. Aún así, en esta respuesta mostraré que también cuando considera que el sistema consta de dos condensadores con una resistencia en el medio, la respuesta que obtiene difiere de la del libro.

Cuando se aplica un voltaje a una resistencia, hay una pequeña carga superficial en la interfaz entre los cables y la resistencia. Esta carga superficial viene dada por:

ρ = \frac{ϵ_{0} tu S}{L},

$\rho=\frac{\epsilon_0 U S}{L},$

con $L$ la longitud de la resistencia. Esto hace que una resistencia actúe como un capacitor pequeño. Esta capacitancia paracítica y la carga correspondiente suelen ser muy pequeñas para las resistencias comunes. Sin embargo, en este caso específico, la resistencia formada por la losa tiene una forma con $\sqrt{S}>>L$ . Esto hace que la resistencia tenga una gran capacitancia. Por lo tanto, la losa debe representarse como una resistencia ideal con una capacitancia paralela a ella.

Por lo tanto, nuestro sistema total consta de dos capacitores formados por los espacios entre la losa y la placa, una resistencia ideal entre ellos y paralela a esta resistencia, la capacitancia de la losa.

Cuando el sistema total esté cargado habrá un cargo

\pm q_{gramo a pag} = \pm \frac{ϵ_{0} {tu}_{0} S}{d - h}

$\pm q_{gap}=\pm \frac{\epsilon_0 U_0 S}{d-h}$

a cada lado de los condensadores de separación. El condensador paracítico permanecerá descargado. Después de cortocircuitar los cables, inicialmente habrá una caída de voltaje en algunos de los cables. Dado que nuestros cables son ideales, esto se compensará cargando la capacitancia paracítica y descargando ligeramente las capacitancias del espacio. Esto sucede instantáneamente y no fluye corriente a través de la resistencia. Este proceso se detiene cuando ya no hay caída de voltaje sobre los cables, es decir, cuando el voltaje sobre la capacitancia paracítica coincide con la caída de voltaje total sobre las capacitancias de separación.

En ese punto, las capacitancias de la brecha tendrán una carga de

\pm q_{gramo a pag}^{'} = \frac{ϵ_{0} {tu}_{0} S}{d - h} \frac{h}{d}

$\pm q'_{gap} = \frac{\epsilon_0 U_0 S}{d-h}\frac{h}{d}$

mientras que el condensador paracítico tiene cargas.

\pm q_{pag a r a}^{'} = \pm \frac{ϵ_{0} {tu}_{0} S}{d - h} (1 - \frac{h}{d}) = \pm \frac{ϵ_{0} {tu}_{0} S}{d}

$\pm q'_{para} = \pm \frac{\epsilon_0 U_0 S}{d-h}\left(1-\frac{h}{d}\right)=\pm \frac{\epsilon_0 U_0 S}{d}$

Tenga en cuenta que, en realidad, la superficie de la losa actúa como una placa de condensador tanto para la capacitancia del espacio como para la capacitancia paracítica. La carga total en esta superficie no cambia durante la transferencia de carga inicial.

El voltaje sobre la capacitancia paracítica es igual al voltaje sobre la resistencia y está dado por:

{tu}_{R} = {tu}_{0} \frac{h}{d}

$U_R = U_0\frac{h}{d}$

esto lleva a

I_{metro a X} = \frac{{tu}_{R}}{R} = {tu}_{0} \frac{S}{ρ d}

$I_{max}=\frac{U_R}{R} = U_0 \frac{S}{\rho d}$

Esta es la misma respuesta que encontraste usando la ley de Gauss, que en este caso es mucho más simple. La respuesta en el libro es, por lo tanto, incorrecta.

lio elbammalf · Answer 2

La distancia del flujo de corriente debe estar dentro del material que contiene los electrones que desea mover. No obtienes una corriente sin electrones*

Puedo ver su línea de razonamiento, pero analicemos un poco y le mostraremos dónde se equivoca.

El quid de su problema proviene de pensar en una carga gratuita entre los condensadores (me imagino), un conjunto de problemas comunes. En este caso tendrías electrones para moverse a lo largo de la distancia. $d$ . Sin embargo, en este caso, sus electrones están confinados a su losa sólida, $S$ . Su corriente solo puede provenir de esos electrones.

Tu ecuación:

I_{metro a X} = {tu}_{0} \frac{S}{ρ h}

$I_{max} =U_{0}\frac{S}{\rho h}$ Está describiendo la corriente de un volumen de electrones con área de superficie S y profundidad h.

En caso de que no esté al tanto de los antecedentes, su ecuación es una reorganización del estándar $V=IR$ , con la resistividad definida como $\rho = R \frac{A}{l}$ dónde $A$ es el área perpendicular al flujo de corriente y $l$ es la distancia que tiene que fluir. Reorganizando obtenemos tu $I=\frac{V}{R}=V\frac{A}{\rho l}$ . Desde $l$ es una propiedad del material dentro del cual fluyen sus electrones, se fija en una longitud dentro de su losa, es decir, la distancia $h$ .

Siento que pude haber trabajado el punto allí, pero espero que se haya entendido.

*U otras partículas cargadas.

Mi solución es la siguiente. Después de cortocircuitar las placas, calculé las cargas de las placas y las cargas en las caras de la losa. $\frac{U_0\varepsilon_0 S}{d-h}$ , por lo que la caída de voltaje entre las placas es $0$ , y obtuvo que la intensidad de campo máxima dentro de la losa es $E=\frac{U_0}{d}$ sin tener en consideración $h$ . Mi respuesta no proviene de suponer que los electrones recorren distancias $d$ .
Sin embargo, por alguna razón desconocida, ellos y usted asumen que después de un cortocircuito, toda la caída de voltaje $U_0$ ocurre a través de las caras de la losa. ¿Te importaría explicar cómo conseguiste esto?
también que es $V$ en tu respuesta? ¿Es la caída de voltaje entre las caras de la losa y, en este caso, cómo se calcula?
Lea atentamente la edición y toda la pregunta. No hay ninguna suposición como la marcada en negrita en su respuesta.
@Hans V sería la caída de voltaje, suponiendo que el sistema comience sin diferencia de potencial. Entonces $U_{0}$ entre las dos caras de la losa. He leído tu solución, pero no estoy seguro de cómo llegaste a todas tus soluciones de ecuaciones. Tal vez si pudiera proporcionar una diferencia paso a paso.
Se mejora la solución mostrando todos los pasos. También muestra que la solución oficial es incorrecta. No habrá caída de tensión. $U_0$ a través de la losa después del cortocircuito.

carmesí · Answer 3

La respuesta del libro es correcta.

Puede considerar que el sistema consta de dos capacitores (los dos espacios entre la losa y las placas), con una resistencia en el medio.

Cuando se conecta una fuente de voltaje, ambos capacitores se cargarán, hasta que la suma de los voltajes sobre los capacitores sea igual al voltaje de la fuente.

Cuando se retira la fuente y se cortocircuitan los conductores, se obtiene una situación de dos capacitores cargados en serie, colocados en serie con una resistencia. Los condensadores se descargarán a través de la resistencia.

El voltaje inicial sobre la resistencia será la suma de los voltajes de los capacitores. Esta suma será $U_0$ . La corriente inicial será así.

I (0) = \frac{{tu}_{0}}{R} = \frac{{tu}_{0} S}{ρ h}

$I(0)=\frac{U_0}{R}=\frac{U_0 S}{\rho h}$

Tenga en cuenta que la corriente a través de ambos condensadores es la misma. Por lo tanto, la acumulación de carga es idéntica para ambos. Por tanto, si partimos de un sistema neutro con condensadores descargados, siempre tendremos $|q_1| = |q_2| = |Q_1| = |Q_2|$ .

Editar

Ahora creo que esta respuesta es incorrecta.

Realmente no entiendo tu solución. Muy a menudo, tales soluciones contienen errores, porque asumes que algo debe ser cierto. Pero una solución "microscópica" muestra que la suposición no es correcta. ¿Es este el caso aquí?
¿No ignora esta solución el hecho de que hay cargas en las caras de la losa?
He demostrado que esta solución es incorrecta. Pero todavía no has demostrado que mi solución es incorrecta. Además, por razones desconocidas, mi pregunta está siendo rechazada sin ninguna explicación. Probablemente hay algunas personas tan inteligentes que todo es obvio para ellos, pero entonces, ¿por qué nadie ha dado una explicación sensata de lo que está pasando en este problema?
Ahora creo que esta respuesta es incorrecta. Lo dejo aquí, porque creo que la mayoría de la gente seguirá esta línea de razonamiento. El problema con esta respuesta es que ignora la capacitancia de la losa. Para una explicación detallada, vea mi otra respuesta.

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