Potencial efectivo de un lazo del modelo estándar

Tiene razón al observar que el potencial efectivo es complejo para ciertos valores del campo de fondo. Este es un tema algo espinoso. En principio, al derivar el potencial efectivo se escribe como una transformación de Legendre del funcional generador de diagramas conexos$W[J]$. Esto supone que el potencial efectivo es convexo en la variable$\phi$. Cuando hay una ruptura de simetría espontánea presente en el nivel clásico, esto obviamente no es cierto, como lo demuestra la curvatura negativa en el origen del espacio de campo. La sabiduría convencional es que toda nuestra derivación no se descompone en tonterías. En cambio, cuando una masa dependiente del campo se vuelve negativa, el valor del campo correspondiente no representa un estado estable. Esto se señala a través del potencial efectivo al adquirir una parte imaginaria distinta de cero que desempeña el papel de una tasa de descomposición de este estado. Sin embargo, consulte [Cálculos de la tasa de decaimiento de precisión en la teoría cuántica de campos] para saber cómo calcular correctamente la tasa de decaimiento físico real.

Su segunda observación, que el logaritmo diverge como$\phi \rightarrow v$es correcto, pero tampoco hay nada de qué preocuparse. Esto se debe a que el prefactor del logaritmo,$\left(m_G^2\right)^2$, también llega a cero en este límite (más rápido que el logaritmo diverge).

En una nota más general, no hay nada inconsistente en evaluar el potencial efectivo para valores de campo generales. Sin embargo, el potencial efectivo en general no representa una cantidad física. Sólo cuando se evalúa en los extremos.

Recomiendo [Uso consistente de potenciales efectivos] para un tratamiento profundo del potencial efectivo y cómo derivar cantidades físicas de él.

Supongamos que está trabajando con el modelo estándar (SM) para que el campo de Higgs corresponda a un$SU(2)\times U_Y(1)$doblete. De hecho, calcular el potencial de Coleman-Weinberg conduce a una contribución similar a la que escribió, primero corrijamos eso:

$$V_{eff} \sim \phi_c^4 \ln\left(\frac{\phi_c^2}{\mu}\right)$$

Además, parece estar mezclando el hecho de que para llegar a tal expresión uno básicamente tiene que emplear una expansión de la integral de camino alrededor$\langle\phi_c\rangle$, que no es un valor genérico;$\langle\phi_c\rangle$debe ser un punto crítico del potencial a nivel de árbol para que se aplique la derivación. (ver [Mecanismo de Coleman-Weinberg] ) y este es el que aparece en sus correcciones masivas; está especificado por la teoría y sus acoplamientos.

En el caso de la SSB en el caso de la SM$\sqrt{2}\langle\phi_c\rangle = v \approx 200$GeV y es técnicamente este valor esperado el que debería aparecer en sus correcciones como se dijo anteriormente. Como se muestra en el libro de Schwartz "Teoría cuántica de campos y el modelo estándar", sección 34.2.3, se obtiene:

$$V_{eff}(h) = \frac{\lambda}{4}h^4 + \left(\frac{9}{64\pi^2}\lambda^2 - \frac{3}{64\pi^2}Y^4_t\right)\phi^4\ln\frac{h^2}{v^2}$$ dónde $Y_t$es el acoplamiento de Yukawa del quark top para el potencial de Coleman-Weinberg para el Higgs (en realidad, solo la contribución más relevante). Ahí puedes ver lo que quise decir anteriormente.

Por otro lado, para los valores del campo que son grandes, debe ser más cuidadoso y resumir estos logaritmos grandes por separado. (ver apartado 34.2.2 de Schwartz). Los números pequeños, por otro lado, no representan una amenaza ya que tienes una potencia para el cuarto frente al registro.

Un argumento alternativo para que descanses tu alma sobre el asunto, es considerar el calibre unitario, donde puedes deshacerte de los bosones de Goldstone, lo que hace que tus preocupaciones sean inútiles, mientras recuerdas que se supone que las cantidades físicas son independientes del calibre. Con todo, es cierto que las teorías efectivas tienen un régimen de validez y no se debe esperar que se cumplan para valores totalmente arbitrarios, en nuestro caso lo más probable sería la escala electrodébil,$v$.