Marco de referencia inercial centrado en la Tierra (ECI) como marco de referencia inercial aproximado

Las únicas fuerzas que tienen un impacto significativo en el movimiento del centro de masa de la Tierra son las fuerzas gravitatorias. La Tierra está "en caída libre"; en el lenguaje de la relatividad general, la moderna teoría de la gravedad, se mueve a lo largo de una geodésica.

Debido a este hecho, se garantiza automáticamente que el espacio-tiempo en la vecindad de la línea del mundo de la Tierra es plano en primer orden; la métrica y sus primeras derivadas se desvanecen. (Las primeras derivadas son equivalentes al símbolo de Christoffel que, por lo tanto, también desaparece en el centro de la Tierra).

Esto solo se modifica en el segundo orden: la curvatura del espacio-tiempo (el tensor de Riemann) es distinta de cero cerca de la Tierra. De manera equivalente, la curvatura del espacio-tiempo nos impide establecer el tensor métrico igual a la métrica plana del espacio-tiempo en el segundo orden. Podemos tener la métrica esquemáticamente de la forma

$$g_{\mu\nu} (\vec x) \sim \eta_{\mu \nu} + [R_{\alpha\beta\gamma\delta}] [x^\pi x^\rho]$$ Entonces, la métrica es plana hasta las correcciones que van como $x^2$dónde $x$es la desviación del centro de la Tierra. Estas correcciones se manifiestan genéricamente como fuerzas de marea; los mayores aportes vienen de la Luna y el Sol; otros planetas también pueden importar. La no inercialidad del Sistema Solar en su conjunto; y la no inercialidad de nuestro cúmulo local, etc. da contribuciones cada vez más insignificantes porque las fuerzas de marea disminuyen con la escala de distancia típica más rápido que la fuerza misma.

Todas las demás desviaciones de la métrica plana son menores que eso. En otras palabras, las fuerzas de marea son el mayor error que se comete si se supone que la Tierra es un sistema inercial que flota en un espacio vacío; todo lo demás es más pequeño.

En el texto anterior, asumí que usas el marco no giratorio de la Tierra, uno que tiene una orientación fija en relación con las estrellas. También puede usar un marco giratorio que esté fijo en relación con la superficie de la Tierra que gira. La inercia de este marco giratorio es obviamente violada por las fuerzas centrífugas y de Coriolis (y las correcciones relativistas a ellas, incluido el arrastre del marco, etc.).

Vengo del mundo de la determinación precisa de la órbita de los satélites, por lo que mis referencias también vienen de ahí. Me doy cuenta de que esto significa que la mayoría de las ecuaciones en mis referencias se relacionan con órbitas y no con medidas generales, sin embargo, creo que las encontrará interesantes.

Creo que una buena referencia es Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones , de DA Vallado. La sección relevante es la Sección 3.7 y siguientes .

Otra buena referencia es Satellite Orbits , de Montebruck y Gill. Las secciones relevantes se encuentran en el Capítulo 3 (no se pudo encontrar un enlace).

Para resumir: los marcos de referencia cuasi-inerciales son marcos en los que las leyes de Newton y la relatividad especial se pueden aplicar sin ningún impacto significativo en la precisión. Por lo general, para aplicaciones en las que esta precisión no es suficiente, la precisión se mejora más fácilmente agregando términos correctivos a las ecuaciones de movimiento de Newton. Los términos correctivos tienen en cuenta la precesión y nutación planetaria, los efectos GR, el efecto Coriolis, los efectos de las mareas, etc.

Para dar una impresión de las magnitudes de tales correcciones; el segundo párrafo en el wiki es útil:

Los marcos de coordenadas ECI no son verdaderamente inerciales, ya que la Tierra misma se acelera a medida que viaja en su órbita alrededor del Sol. En muchos casos, se puede suponer que el marco ECI es inercial sin efectos adversos. Sin embargo, cuando se calcula la influencia gravitatoria de un tercer cuerpo como la Luna sobre la dinámica de una nave espacial, se debe considerar la aceleración del marco ECI. Por ejemplo, al calcular la aceleración de una nave espacial en órbita alrededor de la Tierra debido a la influencia gravitacional de la Luna, se debe restar la aceleración de la Tierra misma debido a la gravedad de la Luna.

El principal efecto no inercial a tener en cuenta es la aceleración del marco ECI hacia la Luna . Si asume que la Tierra y la Luna están en órbita circular alrededor de su baricentro, esta aceleración se puede estimar;

1. por la gravedad newtoniana :

   $$a_{\mathrm{Earth}} = \frac{\mu_{\mathrm{Moon}}}{r_{\mathrm{E-M}}^2} \approx \frac{4902.8\ \mathrm{km}^3\,\mathrm{s}^{-2}}{(384399\ \mathrm{km})^2} = 33.180\, \mu\mathrm{m\,s}^{-2}$$

2. del movimiento circular :

$$a = \frac{v_{\mathrm{Earth}}^2}{r_{\mathrm{E-M}}} \approx \frac{(1.022\ \mathrm{km\ s}^{-1})^2}{384399\ \mathrm{km}} = 33.180\, \mu\mathrm{m\,s}^{-2}$$

Lo mismo puede decirse del Sol. De nuevo, suponiendo una órbita circular:

$$a_{\mathrm{Earth}} = \frac{\mu_{\mathrm{Sun}}}{r_{\mathrm{S-E}}^2} \approx \frac{132712440018\ \mathrm{km}^3\,\mathrm{s}^{-2}}{(149597871\ \mathrm{km})^2} = 5.9301\, \mathrm{mm\,s}^{-2}$$