¿Por qué y cómo el término θ32π2FμνaF~μνaθ32π2FμνaF~μνa\frac{\theta}{32\pi^2}F_{\mu\nu a}\tilde{F}^{\mu\nu a} induce el momento dipolar eléctrico de el neutrón?

El término$F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}$Se puede escribir como$\vec{E}\cdot\vec{B}$, con$\vec{E}$y$\vec{B}$los llamados campos cromoeléctricos/magnéticos (que se pueden considerar como las versiones de fuerza fuerte de sus contrapartes clásicas).

Puede encontrar una derivación del nEDM aquí (cuidado: es bastante largo y tedioso).

Como mencionas,$\theta F\tilde{F}$viola$\textsf{CP}$y permite procesos como los que se muestran a continuación, que a su vez significan nEDM distinto de cero.

La razón real es que el operador$F_{\mu\nu}^{a}\tilde{F}^{\mu\nu,a}$en general tiene un elemento de matriz distinto de cero

$$\tag 1 \lim_{\mathbf p' \to \mathbf p}\langle N(\mathbf p')| F^{a}_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu,a}|N(\mathbf p)\rangle = i\mu \bar{N}(\mathbf p)\gamma_{5}N(\mathbf p),$$ dónde $N$es el estado del nucleón y $\mu$es constante dimensional. El mismo argumento se aplica para el elemento de la matriz. $$\tag 2 \lim_{\mathbf p' \to \mathbf p}\langle N(\mathbf p')|F^{a}_{\mu\nu}F^{\mu\nu,a}|N(\mathbf p) \rangle \simeq m_{N}\bar{N}(\mathbf p)N(\mathbf p),$$ haciendo en realidad una de las principales contribuciones en la masa del nucleón.

A pesar de$(1)$parece razonable, por supuesto es difícil evaluarlo para obtener el valor de$\mu$, porque no es perturbativo. Sin embargo, aquí se puede utilizar la anomalía quiral: cualquier transformación quiral

$$q_{f} \to e^{i\alpha_{f}\gamma_{5}}q_{f}, \quad f = u,d,s$$ genera el cambio $\theta \to \theta + 2\alpha_{f}$. Por lo tanto, es posible eliminar la $\theta$-término con el que aparece la fase en la matriz de masas de quarks: $$M_{q} \to M_{q}\cdot \text{diag}\big(\text{exp}\left[2i\alpha_{u}\gamma_{5}\right],\text{exp}\left[2i\alpha_{d}\gamma_{5}\right],\text{exp}\left[2i\alpha_{s}\gamma_{5}\right]\big)$$ Entonces es posible darse cuenta de que para pequeños $\theta$la matriz de fases genera el cambio $$\bar{q}M_{q}q \to \bar{q}M_{q}q + i\theta \frac{m_{u}m_{d}m_{s}}{m_{u}m_{d}+m_{d}m_{s}+m_{u}m_{s}}\bar{q}\gamma_{5}q,$$ que define efectivamente $\mu$(hasta factor numérico).

Una vez$(1)$se deriva, es simple obtener el término dipolo. Clásicamente, el momento dipolar$d$se define a través del hamiltoniano

$$H_{\text{EDM}} = d(\mathbf E \cdot \mathbf S),$$ dónde $S$es el operador de espín y $\mathbf E$es campo eléctrico. Mediante el uso $(1)$, uno se da cuenta de que solo necesita generar el operador $$L_{\text{EDM}} = d\cdot \bar{n}i\sigma_{\mu\nu}F^{\mu\nu}n$$ Esto se puede hacer solo a través de los campos de protones y piones, ya que el neutrón no tiene el acoplamiento a nivel de árbol con los fotones. Esto último es algo puramente técnico.