¿Por qué una teoría física debe ser matemáticamente autoconsistente?

Desde la época de Newton, la física consiste en observar la naturaleza, cuantificar las observaciones con medidas y encontrar un modelo matemático que no solo describa/trace las medidas sino, lo que es más importante, que sea predictivo. Para lograr esto, la física utiliza un riguroso modelo matemático autoconsistente, que impone postulados adicionales como axiomas para relacionar la conexión de las medidas con las matemáticas, seleccionando así un subconjunto de las soluciones matemáticas del modelo.

La matemática es autoconsistente mediante la construcción de un modelo matemático. Su utilidad en física es que puede predecir nuevos fenómenos a medir. Si las matemáticas estuvieran remendadas y fueran inconsistentes, ¿cómo podrían tener alguna validez las predicciones del modelo?

Es la demanda de autoconsistencia lo que permite la falsificación de un modelo matemático propuesto, por su predicción de números inválidos. El modelo euclidiano consistente de la tierra plana se falsifica en el globo terráqueo, por ejemplo. Esto condujo a la geometría esférica como modelo del globo. Todo el esfuerzo de investigación de validar el modelo estándar en LHC, por ejemplo, tiene la esperanza de que sea falsificado y abra una ventana para nuevas teorías.

La respuesta de @annav ya describe bien cómo funcionan las teorías físicas y cómo requieren autoconsistencia. Me gustaría agregar algunos comentarios desde una perspectiva diferente a eso.

TL;DR Las teorías físicas tienen que ser autoconsistentes Y consistentes con la observación.

Autoconsistencia matemática

En primer lugar, si tratamos una teoría física como un sistema de axiomas matemáticos (es decir, un conjunto de reglas), tiene que ser autoconsistente simplemente porque, de lo contrario, deja de tener sentido. Aquí hay un ejemplo de un conjunto de reglas que no es autoconsistente :

1. El cielo es azul.

2. El cielo es verde.

Bueno, eso no tiene sentido. Sé que el ejemplo es tonto, pero esto es solo para ilustrar el punto. La autoconsistencia simplemente significa que no existen tales reglas que se contradigan entre sí.

Lo que la física trata de hacer

La física trata de encontrar reglas que describan lo que vemos en la naturaleza. Por supuesto, existen diferentes posturas filosóficas sobre cuántas reglas debería haber, cuántos parámetros podemos introducir (p. ej., la teoría de cuerdas trata de reducir eso), etc. Pero de cualquier manera queremos un conjunto de reglas que describa lo que vemos. Citando de la pregunta:

Entiendo la necesidad de fundamentos rigurosos en matemáticas, pero en física tenemos experimentos que deciden qué es verdad y qué no.

Eso es por supuesto cierto. Pero este es un requisito adicional para el conjunto de reglas. Tienen que ser también consistentes con el experimento . El punto principal que estoy tratando de hacer es: ¿cómo podríamos hacer que las reglas sean consistentes con el experimento cuando ni siquiera son consistentes consigo mismas?

Si los únicos enunciados matemáticos admitidos en una teoría física fueran aquellos que tienen un contenido empírico inmediato (es decir, pueden probarse mediante un experimento inequívoco), entonces tendría un muy buen caso para presentar. ¿Por qué? Porque la consistencia del mundo de la experiencia garantizaría la consistencia del formalismo matemático. Fin de la historia.

En realidad, sin embargo, las matemáticas que sustentan una teoría física son un elaborado andamiaje que hace contacto con hechos empíricos sólo en puntos seleccionados.

Esto es lo que quiero decir...

No se puede medir el grupo unitario$U_t=\exp(iHt)$generado por el hamiltoniano de un sistema cuántico, por ejemplo; lo que realmente mide es un histograma de frecuencias relativas de resultados que se comparan con el cuadrado de una función de onda$|\psi(x)|^2$cuya forma en cualquier momento está determinada por algún andamiaje matemático invisible ($\psi_t(x)=U_t\psi_0(x)$en este caso).

Si hay una inconsistencia en la parte no empírica de un marco matemático, es posible (por definición) hacer predicciones empíricas contradictorias. Y eso, estoy seguro de que estará de acuerdo, es un problema.

Esto no quiere decir que no podamos hacer frente a una teoría matemáticamente inconsistente en la física, por supuesto. ¡Ingrese a la teoría cuántica de campos! Sin embargo, es necesario demarcar cuidadosamente los lugares donde podría existir una inconsistencia matemática y establecer protocolos precisos para garantizar que dos personas que usan la misma teoría para resolver el mismo problema hagan las mismas predicciones empíricas.

Si las teorías solo se usaran para describir lo que ya sabemos y observamos, tal vez no tendrían que ser autoconsistentes; incluso podrían degenerar en grandes listas de fenómenos observados. Así era la ciencia en Sumeria, hace 5000 años. Si queremos que las teorías físicas sean predictivas, tienen que ser autoconsistentes en el sentido de que tienen que hacer las mismas predicciones (válidas) sea cual sea la forma matemática en que se trabaje con ellas. Suponiendo una delimitación de dominio adecuada, también deben ser compatibles entre sí, lo que permite que el razonamiento matemático funcione sin problemas en una variedad de fenómenos físicos. Entonces podemos tener la sensación de que tocamos algo profundo perteneciente a la naturaleza de la realidad misma. La física se basa en la idea de que hay más en lo que observamos que correlaciones superficiales.

Las teorías matemáticas que no son consistentes prueban cosas contradictorias (esto es solo una declaración sobre las matemáticas y lo que significa ser inconsistente, no tiene que ver con la física en particular).

No queremos teorías de la física que predigan cosas contradictorias. Idealmente, no queremos teorías que hagan predicciones incorrectas, pero si nuestra teoría hace dos o más predicciones contradictorias sobre la misma observación, entonces una de ellas es incorrecta, por lo que la teoría es incorrecta .

Por lo tanto, no queremos teorías de la física que sean matemáticamente inconsistentes.

En realidad, es bastante peor que esto: en una teoría inconsistente que utiliza la lógica clásica, cada declaración es un teorema. Entonces, no es solo que un modelo inconsistente haga algunas predicciones incorrectas, hace todas las predicciones incorrectas que puedas imaginar y también hace todas las predicciones correctas que puedas imaginar. Eso lo hace inútil para hacer física, ya que de ninguna manera te ayuda a distinguir entre cosas verdaderas y cosas falsas.

Hay lógicas no estándar que permiten algunas contradicciones sin que todo te explote en la cara, y puede ser que algunos físicos hayan hecho un uso exitoso de ellas, no lo sé. Si es así, entonces puede haber algunas excepciones especiales a la regla, "las teorías físicas deben ser consistentes", pero la mayoría de los físicos usan la lógica estándar y, por lo tanto, no pueden hacer nada útil con una teoría inconsistente.

La física es el arte de comprimir nuestro conocimiento del universo.

Da la casualidad de que cada vez que pegamos dos cuerpos masivos uno cerca del otro (o los notamos cerca uno del otro), parecen moverse uno hacia el otro. Ahora, podríamos simplemente registrar el hecho de que cada cuerpo masivo (individualmente) se está moviendo hacia todos los demás cuerpos masivos (individualmente). Esta es una gran cantidad de información.

Si se nos ocurre una estrategia de compresión, por ejemplo, una ley de la gravedad, lo que obtenemos es una descripción de la situación que utiliza mucha menos información y, sin embargo, describe lo que está sucediendo. Ya no necesitamos describir con minucioso detalle la posición y la atracción de cada cuerpo masivo observado y su tendencia a acelerarse uno hacia el otro: en su lugar, estimamos su masa y decimos que "la ley de la gravitación se aplica a todo lo que tiene masa".

Esta es una cantidad fantástica de compresión en nuestra descripción del universo y la predicción de lo que hará a continuación.

Repite este proceso muchas veces y obtendrás la física moderna, donde nuestras observaciones se destilan en ecuaciones y algoritmos, lo que significa que no tenemos que enumerar todas nuestras experiencias y predicciones, sino "puntuar" y decir "usa estos trucos". ", y el universo al menos parece mucho más simple.

En situaciones complejas, a menudo los algoritmos y las ecuaciones no funcionan bien (ya que evaluarlos "totalmente" es difícil en esa escala). Pero con ciertas suposiciones podemos construir reglas que funcionen bastante bien en diferentes escalas , como la ley de los gases ideales y sus ajustes.

Podemos usar esto para validar nuestras técnicas a pequeña escala al ver si podemos derivar las reglas a gran escala de las de pequeña escala. Si es así, las de gran escala no son reglas adicionales, sino solo consecuencias de las de pequeña escala.

Por otro lado, si resulta que las reglas de gran escala no son consecuencia de las de pequeña escala, eso implica que las reglas de pequeña escala están equivocadas en formas que aún no comprendemos. Esto implica que la calidad de su compresión es menos que perfecta, y puede haber nuevas reglas que nos permitan derivar las reglas reales a gran escala a partir de ellas.

Si tiene una teoría inconsistente, eso significa que usarla a veces predecirá cosas que no experimentamos. Esto lo convierte en un algoritmo de compresión peor, porque ahora tiene que hablar tanto sobre el algoritmo como sobre dónde no se aplica. Describir dónde no se aplica son bits adicionales de información y puede requerir su propio patrón: si tiene que describir individualmente cada instancia donde no se aplica, esta compresión es apenas mejor que una colección de observaciones y predicciones sin una teoría subyacente. .

Entonces, una teoría consistente te da la habilidad de describir el universo (presente y futuro) de manera más sucinta que una inconsistente.

Una teoría física usa objetos matemáticos para modelar sistemas físicos. A grandes rasgos, la teoría consta de (a) reglas sobre cómo relacionar estos objetos con las condiciones iniciales de un experimento, (b) afirmaciones matemáticas sobre las propiedades que debe tener el modelo y (c) una descripción de cómo las características matemáticas de el modelo conduce a predicciones comprobables sobre el resultado de un experimento.

De estas partes (b) es lo que se puede considerar como el "contenido matemático" de la teoría. Por ejemplo, con la mecánica newtoniana, el modelo consta de funciones que dan las posiciones y orientaciones de varios cuerpos como funciones de una variable en el tiempo, y otras funciones que muestran de dónde vienen las fuerzas y$F=ma$Es entonces un requisito que las diversas funciones que componen el modelo estén relacionadas de una manera particular.

Una teoría que no es autoconsistente en una en la que las reglas de la parte (b) imponen tantas restricciones al objeto modelo que en realidad no hay ningún objeto matemático que las satisfaga todas .

No es inaudito que tales teorías puedan ser útiles en la práctica, en el sentido de que los teóricos logran obtener predicciones de ellas que se sostienen en los experimentos, pero la situación es incómoda porque matemáticamente es cierto que las descripciones en (c) serían, en vano, , conducen a cualquier predicción acerca de un experimento dado. Solo obtenemos predicciones de trabajo de la teoría porque los teóricos se limitan a ciertas formas particulares de razonamiento, en lugar de "cualquier cosa que sea una deducción matemáticamente válida de las reglas de la parte (b)". Estas restricciones sobre qué tipo de razonamiento "permite" la teoría generalmente no se establecen explícitamente ni se entienden completamente por los usuarios o creadores de la teoría.

Las teorías físicas no son una colección de axiomas matemáticos, son intentos de describir la naturaleza.

No solo eso. También se supone que las teorías físicas hacen predicciones. Esto es parte del Método Científico. Uno no espera predecir nuevos fenómenos - que luego pueden ser verificados - utilizando una teoría que no es autoconsistente. No podemos hacer trampa. Siguiendo matemáticas autoconsistentes, Dirac pudo predecir antipartículas, Higgs, el bosón de Higgs y Einstein las ondas gravitacionales.

¿Tiene sentido hablar de que la termodinámica es autoconsistente?

Solo para dar un ejemplo: a principios del siglo XX, la gente conocía los principales resultados de la termodinámica. Si le preguntaras a un estudiante en ese momento qué temperatura es, probablemente diría que es la medida de la agitación térmica de las moléculas. Pero se obtiene este resultado por comparación de las presiones calculadas por la teoría cinética y por la ley de los gases ideales. Lo que pasa es que la temperatura se había usado mucho hasta que aparece en la ley de los gases ideales. Por lo tanto, no es lógicamente coherente utilizar una variable física para llegar a un resultado y, en función de este resultado, definir esta variable. Para hacer que la termodinámica sea autoconsistente, uno tiene que definir la temperatura desde el principio y eso es lo que hace la Ley Cero.

En pocas palabras: se requiere autoconsistencia porque esperamos que la naturaleza se ciña a leyes que pueden describirse matemáticamente. Las descripciones matemáticas, por definición, tienen que ser autoconsistentes.

La física teórica es el intento de describir un sistema (un subconjunto de la naturaleza) utilizando las matemáticas , haciendo ciertas suposiciones e idealizaciones si es necesario. Dicho de otra manera, el lenguaje de la física teórica son las matemáticas. En términos generales, se necesita una axiomatización de la noción de estados , observables y una ley dinámica . La mayoría de las teorías físicas tienen más de una descripción equivalente (p. ej., la ley de movimiento de Newton es equivalente a la formulación hamiltoniana que, a su vez, es equivalente a un principio de acción mínima).

Lo que le da significado a un conjunto de ecuaciones matemáticas es que puede extraer predicciones para resultados experimentales, y si estas predicciones se confirman en el experimento, entonces dice que este conjunto de ecuaciones describe sus sistemas. Las suposiciones e idealizaciones también determinan el rango de validez: no espera que la mecánica cuántica no relativista describa con precisión los experimentos en el LHC. Por supuesto, puede suceder que un solo conjunto de ecuaciones no pueda describir todas las características de su sistema, y ​​eso se debe a que los diferentes efectos pueden estar más allá del rango de validez de una sola teoría. Por ejemplo, la imposibilidad de las máquinas de movimiento perpetuo se puede derivar de la Segunda Ley de la Termodinámica, por lo que sipudiéramos construir uno, entonces deduciríamos que la Segunda Ley sería incorrecta. La razón por la que los físicos dan por sentada la Segunda Ley de la Termodinámica es que se ha probado experimentalmente una y otra vez y se ha encontrado que es cierta.

Las inconsistencias en su formulación matemática son problemáticas si pueden usarse para hacer predicciones contradictorias. Por supuesto, no todas las inconsistencias matemáticas necesitan tener predicciones físicas asociadas, pero generalmente las inconsistencias matemáticas apuntan a errores en su descripción teórica de su sistema físico, y a una falta de comprensión de ciertas facetas. Entonces, conocer las inconsistencias matemáticas en realidad puede ser útil para los físicos, porque les informa sobre qué líneas investigar más.

Buena pregunta. ¿Es la interpretación de muchos mundos con su insistencia en la autoconsistencia y conclusiones como que la gravedad debe ser cuantificada realmente preferible a la interpretación de Copenhague, que se mantiene agnóstica en esos asuntos? Una ventaja de la insistencia en la autoconsistencia es que la teoría se vuelve más falsable, porque basta con refutar una de sus conclusiones para refutar la teoría misma. Otra ventaja es la posibilidad de interpretar la teoría por una "realidad ficticia", como señala H. Dieter Zeh.

Por otro lado, debemos reconocer que la posición agnóstica de la interpretación de Copenhague es más honesta con respecto a lo que realmente sabemos, y también más honesta con respecto a las posibles consecuencias de una refutación de la teoría. Ninguna de las conclusiones prácticas que derivamos de la mecánica cuántica sería menos válida si fuera refutada, al igual que ninguna de las conclusiones prácticas de la teoría de Newton se volvió menos válida después de que la mecánica cuántica expusiera sus limitaciones. Las extrapolaciones infundadas de la teoría de Newton como el demonio de Laplace ciertamente se volvieron inválidas, pero deberían haberse evitado de todos modos.

Podemos suponer que la relatividad general y la mecánica cuántica describen correctamente el mundo físico y usar esta suposición para predecir cosas como la radiación de Hawking de los agujeros negros. Esta predicción puede ser correcta o incorrecta, pero no se vuelve incorrecta solo porque la teoría combinada de la mecánica cuántica y la relatividad general no es consistente.