¿Por qué tenemos que considerar dos bolas de carga opuesta?

Para calcular la resistencia, necesitamos conocer la corriente entre las bolas cuando tienen un voltaje dado. Pero si le dimos a las dos bolas exactamente la misma carga, entonces la diferencia de voltaje y la corriente serían cero, por simetría, así que eso no ayuda.

Ahora supongamos que las bolas tienen carga.$q_1$y$q_2$. Como el electromagnetismo es lineal, podemos sumar la misma carga$-(q_1+q_2)/2$a ambas bolas sin afectar la corriente o el voltaje. Entonces las bolas tienen cargas iguales y opuestas.

En resumen, no es un requisito, pero cualquier desviación de tener cargas iguales y opuestas no agrega nada al problema. Siempre podemos hacer que las cargas sean exactamente iguales y opuestas sin cambiar la situación, y lo hacemos porque la simetría facilita un poco las matemáticas.

Supongo que el medio conductor se toma para llenar todo el espacio (y para tener una susceptibilidad eléctrica insignificante). El problema con las cargas desequilibradas en este caso es que daría como resultado un flujo neto de corriente hasta el infinito. Para ver esto, observe que el campo eléctrico de cualquier configuración de carga se puede escribir en una serie de potencias en$1/r$como

$$\vec{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left[ \frac{Q_\text{tot}}{r^2} \hat{r} + \frac{1}{r^3} \left( 3 \vec{p} \cdot \hat{r} - \vec{p} \right) + \dots \right],$$ dónde $Q_\text{tot}$es la carga total de la configuración, y $\vec{p}$es su momento dipolar. (Los términos de orden superior corresponden a los campos del cuadrupolo, octupolo, etc.) Si todo el espacio se llena con un medio óhmico, entonces la densidad de corriente resultante en el espacio estará dada por $\vec{J} = \vec{E}/\rho$, y la corriente que fluye a través de una gran esfera de radio $R$será $$\begin{multline} I_R = \oint \vec{J} \cdot d \vec{a} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \rho} \iint \left[ \frac{Q_\text{tot}}{R^2} \hat{r} + \frac{1}{R^3} \left( 3 \vec{p} \cdot \hat{r} - \vec{p} \right) + \dots \right] \cdot (R^2 \, d \Omega \hat{r}) \\ = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \rho} \iint \left[ Q_\text{tot} + \frac{2}{R} \vec{p} \cdot \hat{r} + \dots \right] \, d \Omega \end{multline}$$ en el límite como $R \to \infty$, todos los términos excepto el primero desaparecerán. Pero tener una carga neta en la configuración de carga dará como resultado una "fuga" finita de carga hacia el infinito, con una magnitud de $I_\infty = Q/\epsilon_0 \rho$.

Entonces, la respuesta corta de "¿por qué necesitamos asumir una carga igual y opuesta en este problema?" es que estamos interesados ​​en el flujo de corriente entre las esferas, porque esto es lo que determina la resistencia medida entre ellas. Si requerimos que no haya carga neta en las esferas, entonces no obtenemos salida de corriente neta de las esferas; en particular, esto significa que la "corriente de entrada" a una de las esferas es lo mismo que la "corriente de salida" de la otra, y que estos dos números sean iguales entre sí está implícito en cualquier definición razonable de resistencia.