¿Por qué suponemos que el peso actúa a través del centro de masa?

Las otras respuestas aquí, que muestran que la gravedad no ejerce un par de torsión sobre un objeto, son correctas. Sin embargo, confían en el siguiente paso implícito de lógica para llegar a la respuesta que quiere el OP:

Un objeto sobre el que actúa una fuerza, pero sobre el que no actúa ningún par de torsión, parece como si estuviera siendo jalado de su centro de masa .

Esto es cierto sólo en el caso de cuerpos rígidos ideales . En el caso de objetos elásticos, OP es absolutamente correcto, ya que la gravedad actúa sobre cada partícula individual del objeto. Esta es la razón por la que las vigas se doblan por su propio peso, entre otras cosas.

Como punto de aclaración que quizás no se haya hecho tan claramente en las otras respuestas: No, el peso de un cuerpo no actúa a través del centro de su masa, y tal suposición no es necesaria. Sin embargo, uno puede mostrar (ver la respuesta de @tomph) que la suma de todas las fuerzas gravitatorias (que de hecho actúan sobre cualquier parte pequeña del cuerpo) puede ser reemplazada de manera equivalente por una sola fuerza a través del centro de masa del objeto, si eso El objeto puede considerarse rígido. El "equivalentemente" en esta declaración se refiere al hecho de que, cuando calculamos, por ejemplo, las fuerzas requeridas para mantener dicho objeto en su lugar (por "pilares", digamos), el resultado será exactamente el mismo si usamos la fuerza de peso único actuando a través de su centro de masa o la distribución real del peso del objeto.

En resumen, el modelo de la fuerza única que actúa a través del centro de masa es una simplificación muy conveniente, pero no es una suposición necesaria ni refleja la realidad. Como han dicho otros, una vez que queremos describir el comportamiento de los cuerpos deformables o discutir las distribuciones de carga interior en un cuerpo, este modelo ya no es adecuado ni útil, ni siquiera correcto, como lo señaló @probably_someone.

El hecho de que el peso de un cuerpo parezca actuar sobre su centro de masa es una consecuencia directa de que el peso es un campo de fuerza paralelo (obviamente suponiendo que el cuerpo es lo suficientemente pequeño para el campo).$\textbf{g}$ser constante sobre ella).

Considere por simplicidad un sistema discreto formado por N partículas, cada una de masa$m_i$. La fuerza externa total que actúa sobre este sistema es

$$\begin{equation} \textbf{F}_{tot} = \sum_{all \,particles} \,m_i \textbf{g} = M \textbf{g} \end{equation}$$ dónde $M$es la masa total del sistema.

Para probar que el cuerpo no gira alrededor de su centro de masa por su propio peso, consideramos el par ejercido por el peso con respecto al centro de masa:

$$\tau _{cm} = \left(\sum_{all\,particles} m_i \textbf{r}'_i\,\right)\times\,\textbf{g} = \left(\sum_{all\,particles} m_i (\textbf{r}_{i} - \textbf{r}_{cm})\,\right)\times\,\textbf{g} = (M\textbf{r}_{cm} - M\textbf{r}_{cm})\times\textbf{g} = \textbf{0}$$ donde las coordenadas primas son con respecto al centro de masa.

Por lo tanto, como puede ver, el peso de un cuerpo no ejerce torsión sobre el cuerpo. De estos resultados podemos inferir que, por supuesto, cada partícula que constituye el cuerpo está sujeta al peso, pero el efecto total es exactamente el comportamiento que tendría el cuerpo si el peso actuara solo sobre una partícula que tiene la masa del sistema total y está ubicada en el centro de masa.

En primer lugar, veamos la diferencia entre el centro de masa y el centro de gravedad en un caso general.

El centro de masa de un cuerpo rígido es un punto hipotético donde se "supone" que se concentra toda la masa del cuerpo. En realidad, no es cierto que la masa se concentre solo en un solo punto del cuerpo. La distribución de masa se equilibra alrededor del centro de masa y el promedio de las coordenadas de posición ponderadas de la masa distribuida define sus coordenadas. Si el cuerpo tiene una densidad uniforme en todas partes, entonces el centro de masa se encuentra en el centroide del cuerpo.

Ahora, el centro de gravedad es la ubicación promedio del "peso" del cuerpo, mientras que el centro de masa es la ubicación promedio de la "masa" del cuerpo. Por tanto, en general, el centro de masa y el centro de gravedad de un cuerpo no son iguales. Sin embargo, en un campo gravitatorio uniforme (un punto en la tierra es una muy buena aproximación de donde se encuentra tu cuerpo), estos dos puntos coinciden debido al hecho de que el peso,$W=mg$, dónde$m$es la masa del cuerpo y$g$es la aceleración de la gravedad. Esto significa que si establecemos la constante$g$como uno, o expresar el peso en términos de$g$, entonces el peso es numéricamente igual a la masa. Entonces, el centro de masa coincide con el centro de gravedad aquí.

¿Por qué suponemos que el peso actúa a través del centro de masa?

Como he citado en el párrafo anterior, el peso de un cuerpo, en general, actúa a través del centro de gravedad, no del centro de masa. Sin embargo, un cuerpo en la superficie de la tierra siente un campo gravitacional uniforme y, por lo tanto, el centro de gravedad coincide con el centro de masa.

El centro de masa es un punto hipotético donde se supone que se concentra toda la masa del cuerpo. No es en realidad el punto donde se acumula toda la masa. La masa (la cantidad de materia) se esparce continuamente por todo el cuerpo. Pero, cuando se trata de estudiar el movimiento de un cuerpo, lo que en realidad hacemos al estudiar la variación en las coordenadas de posición asociadas con el cuerpo con respecto al tiempo, el COM es realmente útil. Pero, ¿cómo asociamos coordenadas a un cuerpo? Si el cuerpo es voluminoso, entonces no puede especificar las coordenadas, sino que especifica el volumen del cuerpo que ocupa en el espacio. Pero, usted puede saber que este "volumen" es completamente irrelevante e innecesario para que un cuerpo rígido explique su dinámica.

Para evitar tal dificultad, hacemos uso del centro de masa. Puede trazar la trayectoria del cuerpo en el espacio rastreando el movimiento del centro de masa del cuerpo en función del tiempo. Este enfoque no falla en ninguna dinámica del cuerpo bajo consideración. Entonces, podríamos adjuntar las coordenadas (marco del cuerpo) en el centro de masa del cuerpo.

La gravedad actúa en todos los puntos del cuerpo. El concepto de centro de masa permite estudiar el cuerpo o un sistema de cuerpos (que creo que es el propósito más útil del concepto de centro de masa) de una manera más compacta simplificando el problema (o eliminando detalles no deseados) . Puedes suponer (en la Tierra) que el peso del cuerpo actúa a través del centro de masa. Un aspecto importante de esta consideración es que el centro de masa de un cuerpo rígido no cambia durante su movimiento. Además, si considera los casos complejos, por ejemplo, un problema de dos cuerpos , que se puede resolver en un problema de un cuerpo (eso es realmente un gran alivio) invocando el centro de masa.

Si no está convencido de la facilidad de hacer esta aproximación, considere un cuerpo que se mueve a través de un campo gravitacional bajo la influencia de alguna fuerza externa. trate de resolver los componentes de la Fuerza para obtener la fuerza resultante. Sin el concepto de centro de masa, debe resolverlo para todos los puntos (o partículas) que constituyen el cuerpo.

La fuerza que actúa sobre el centro de masa no ejerce ningún momento de torsión sobre un cuerpo extendido. Entonces, la gravedad 'actuando en el centro de masa' significa una fuerza que acelera, pero no gira, su objetivo.

Hay un par de marea en la Tierra por la Luna, pero esto se debe a que la Tierra no es un cuerpo rígido y cambia de forma (y distribución de peso) con las mareas. Eso significa que la Tierra está efectivamente polarizada por un campo de gravedad, y esa polarización (lóbulos de marea) ralentiza la Tierra mientras aumenta el momento angular orbital de la Luna. Esto no se debe directamente a la gravedad, sino a la dependencia del tiempo del cambio de forma de la Tierra (no es un efecto reversible en el tiempo, aunque sí lo es un campo de fuerza conservador, como la gravedad).

Claramente, también hay torsión en un equilibrio de torsión Cavendish del aparato Cavendish donde los dos objetos están diseñados para actuar contra un resorte de torsión por la fuerza de la gravedad. Entonces, la afirmación de acción en el centro de masa a veces es falsa.

Se puede argumentar, por supuesto, que una masa puntual no ejerce un par de torsión sobre un objeto rígido, porque la gravedad no puede ejercer de manera significativa un par de torsión igual y opuesto sobre el objeto puntual. Sin embargo, es difícil generalizar ese argumento.

Por definición, el centro de masa es el punto cuya aceleración se encuentra por

$$\vec{a}_{cm} = \frac{1}{m} \vec{F}_{net}$$

De hecho, la gravedad actúa sobre todos los cuerpos y, en la medida en que el movimiento lineal del centro de masa es el mismo, la ubicación de donde actúa la fuerza no importa. La ubicación de donde se aplica una fuerza solo importa para el movimiento de rotación.

Tome una barra flotante libre en el espacio y aplique una carga en un extremo de la misma. El cuerpo se va a trasladar y rotar. Si resuelves las ecuaciones, verás que la traslación del centro de masa no depende de la ubicación de la fuerza.