¿Por qué se utilizan métodos no relativistas en los sistemas de púlsares binarios (ondas gravitacionales)?

Los sistemas de masas en movimiento deberían emitir ondas gravitatorias de forma análoga a la emisión de ondas electromagnéticas por parte de un sistema de cargas en movimiento. Los primeros intentos de calcular la energía en estas ondas se basaron en el uso del tensor de energía de pseudoestrés para encontrar el flujo de energía.

Ejemplo:

Si asumimos que los dos cuerpos que forman el binario se encuentran en el plano xy y sus órbitas son circulares, las componentes no nulas del tensor cuadripolar son:

$$\boxed{Q_{xx}=-Q_{yy}=\frac{1}{2}(\mu)a^{2}\cos2\Omega t}$$ y $$\boxed{Q_{xy}=Q_{yx}=\frac{1}{2}(\mu)a^{2}\sin2\Omega t}$$ Dónde$\Omega$es la velocidad orbital,$\mu=\dfrac{m_{1}m_{2}}{m}$es la masa reducida y donde$m=m_{1}+m_{2}$Las ondas gravitacionales transportan energía y provocan una deformación del espacio-tiempo. La energía de tensión transportada por estas ondas no puede localizarse dentro de una longitud de onda; más bien se puede decir que una cierta cantidad de energía de tensión está contenida en una región del espacio que se extiende sobre varias longitudes de onda.

La desventaja asociada con este método es que siempre se puede elegir un sistema de coordenadas tal que el flujo de energía desaparezca en él; además, este método solo es válido para sistemas que no están ligados gravitacionalmente. Entonces, el caso de los binarios quedó sin resolver en ese entonces.

Sir Arthur Eddington encontró sistemas de formas de radiación calculando la reacción de radiación del propio sistema. Esto tampoco era válido para los sistemas ligados gravitacionalmente. Para situaciones en las que la radiación es constante, los métodos mencionados anteriormente concuerdan. Sin embargo, para los casos en que la radiación depende del tiempo, se deben usar diferentes métodos. La analogía en los resultados obtenidos ocurre en la teoría de la radiación electromagnética.

Un enfoque para resolver la radiación gravitacional es considerar solo las soluciones exactas de las ecuaciones de campo no lineales de GR. Estas ecuaciones se expanden en potencias de constantes de acoplamiento gravitacional debido a la debilidad de la interacción gravitacional. Una vez que las ecuaciones de campo de GR se expanden en términos de la constante de acoplamiento gravitacional, se pueden calcular las leyes de conservación integral de la energía, el momento y el momento angular. Para un sistema no relativista, la radiación se da en términos de derivadas temporales de la distribución de materia del sistema. Los binarios se tratan como un sistema de dos masas puntuales que se mueven en órbitas elípticas bajo su atracción gravitacional mutua. El sistema de binarios se desintegra como resultado de la radiación gravitacional y los cambios en la órbita se pueden encontrar durante tal decaimiento.

$$\boxed{R_{\mu \nu}-\frac{g_{\mu \nu}R}{2}=-8\pi GT_{\mu \nu}}\tag{1}$$ Dejar$g_{\mu \nu}=\delta_{\mu \nu}+h_{\mu \nu}$, las ecuaciones de campo se pueden expandir en potencias de$h_{\mu \nu}$Llegar: $$\boxed{\bar{h_{\mu \nu,\lambda \lambda}}-\bar{h_{\mu \lambda, \lambda \nu}}-\bar{h_{\nu \lambda \lambda \mu}}+\delta_{\mu \nu}\bar{h_{\lambda \sigma,\lambda \sigma}}=-16\pi GS_{\mu \nu}}\tag{2}$$ $S_{\mu \nu}$se define de forma única de y la divergencia de la LHS de la ecuación se desvanece. Por eso$S_{\mu \nu, \nu}=0$y se pueden escribir leyes de conservación.

La invariancia de$(1)$bajo transformaciones de coordenadas arbitrarias implica que siempre se puede elegir un sistema de coordenadas en el que$\bar{h_{\mu \nu, \nu}}=0$. Esto simplificaría el caso, pero luego la ecuación$(2)$se convertiría en una ecuación de onda no homogénea!

Podemos suponer que las ecuaciones de campo son válidas para grandes distancias del sistema y los potenciales gravitatorios$h_{\mu \nu}$son inversamente proporcionales a la distancia del sistema para grandes distancias, entonces la energía del sistema debe disminuir un poco como resultado de la radiación de las ondas gravitacionales, independientemente del sistema de coordenadas o las condiciones utilizadas.

Por lo tanto, en una aproximación no relativista, la radiación es la misma que la que se encuentra en el calibre$\bar{h_{\mu \nu, \nu}}$.

Editar:

Me acabo de dar cuenta de que esta pregunta tiene 2 años, para cualquier persona interesada, consulte este documento

Las ondas gravitacionales son predichas por GR. No hay ondas gravitacionales en la teoría de Newton.

Una suposición descabellada es que el autor de este libro usa la teoría potencial clásica para explicar la expansión multipolar de GW (como se conoce a partir de potenciales eléctricos, básicamente series de Fourier en una esfera) y en el caso de GW para el hipotético spin 2 del gravitón, debería obtener un momento cuadripolar.

Si todo se puede hacer a través de métodos newtonianos (o keplerianos) no relativistas, entonces, ¿por qué necesitamos calcular todo en la relatividad general?

El éxito de la Relatividad General demuestra que es relevante y debe tenerse en cuenta en los problemas gravitacionales. Pero al mismo tiempo, las ecuaciones gravitatorias GR se reducen a ecuaciones newtonianas donde los campos gravitatorios son lo suficientemente débiles y las velocidades no son relativistas para el problema particular en cuestión.

En el binario Hulse-Tailor, por ejemplo:

Velocidad orbital de las estrellas en el periastro (relativa al centro de masa): 450 km/s

Usar la panoplia matemática de la relatividad general cuando, para las precisiones necesarias para el problema, la aproximación newtoniana es lo suficientemente buena es una pérdida de esfuerzo intelectual.

Entonces, la conjetura es, dado que no hay un enlace para leer el problema específico, que la aproximación newtoniana es lo suficientemente buena para el problema en cuestión. Todo depende de las precisiones necesarias. La Relatividad General se tiene en cuenta en el sistema GPS, simplemente porque se necesita una gran precisión, aunque no he visto que se use en las tablas de mareas.