¿Por qué las ondas gravitacionales circularizan un binario?

Las otras respuestas han dado buenos argumentos "matemáticos rigurosos" de por qué sucede esto, pero me gustaría agregar uno más simple para agitar la mano.

Las ondas gravitacionales se emiten cuando los cuerpos masivos se aceleran . La aceleración es más fuerte en el periapsis (es decir, cuando los cuerpos están más cerca). La emisión de GW elimina energía. Como resultado, al cuerpo en órbita le queda menos energía cinética para salir del periapsis, es decir, el próximo apoapsis será más bajo.

En comparación, en el apoapsis no hay tanta aceleración, por lo que la altura del periapsis no cambia mucho. Pero, por supuesto, la próxima vez que esté en ese periapsis, se perderá más energía. Repita, hasta que finalmente la apoapsis ya no sea más alta que la periapsis: tiene una órbita circular.

Tenga en cuenta que la emisión de ondas gravitacionales no necesariamente hace que una órbita sea más circular.

Este es el caso en el campo débil (como se detalla en la respuesta de G. Smith). Sin embargo, para binarios con masas suficientemente diferentes, la emisión de ondas gravitacionales puede aumentar la excentricidad en el régimen de campo fuerte. Este efecto fue descubierto por Glampedakis y Kennefick en gr-qc/0203086 y desde entonces ha sido confirmado por muchos cálculos independientes.

Dado que si las ondas gravitatorias aumentan o disminuyen la excentricidad aparentemente depende de las propiedades precisas del binario, no debemos esperar un simple argumento cualitativo que explique por qué lo hace de una forma u otra.

La forma de una órbita Kepleriana se puede caracterizar geométricamente por su semieje mayor$a$y excentricidad$e$o dinámicamente por su energía$E$y momento angular$L$.

Estos últimos son expresables en términos de los primeros como

$$E=-\frac{Gm_1m_2}{2}\frac{1}{a}\tag{1}$$

y

$$L^2=\frac{Gm_1^2m_2^2}{m_1+m_2}a(1-e^2)\tag{2}.$$

Las primeras son expresables en términos de las segundas como

$$a=-\frac{Gm_1m_2}{2}\frac{1}{E}\tag{3}$$

y

$$e^2=1+2\frac{m_1+m_2}{G^2m_1^3m_2^3}EL^2\tag{4}.$$

Tenga en cuenta que$E$es negativo para una órbita ligada.

La radiación gravitatoria transporta la energía y el momento angular (y también el momento lineal) hasta el infinito.$E$disminuye y se vuelve más negativo, por lo que su valor absoluto aumenta;$L^2$disminuye y se vuelve menos positivo, por lo que su valor absoluto disminuye. Si el valor absoluto del número negativo$EL^2$aumenta o disminuye, y por lo tanto lo que sucede con la excentricidad, no es obvio.

¡Hay que hacer el cálculo! Esto es lo que hizo Peters .

Primero deriva/rederiva las fórmulas

$$\frac{dE^\text{rad}}{dt}=\frac{G}{c^5}\left(\frac15\dddot{Q}_{ij}\dddot{Q}_{ij}\right)\tag{5}$$

y

$$\frac{dL_i^\text{rad}}{dt}=\frac{G}{c^5}\left(\frac25\epsilon_{ijk}\ddot{Q}_{jl}\dddot{Q}_{kl})\right)\tag{6}$$

para la velocidad a la que la energía y el momento angular son llevados al infinito por las ondas gravitacionales, en el orden de avance de una expansión multipolar. Aquí

$$Q_{ij}=\sum_n m^{(n)}\left(x_i^{(n)}x_j^{(n)}-\frac13\delta_{ij}x_k^{(n)}x_k^{(n)}\right)\tag{7}$$

es el tensor de momento cuadripolar de masa sin trazas del sistema cuando el sistema se considera como$n$masas puntuales.

Luego aplica esto a un binario kepleriano y promedia sobre una órbita elíptica. Usando la conservación de la energía y el momento angular, encuentra que la energía y el momento del binario disminuyen a la tasa promedio

$$\left\langle\frac{dE}{dt}\right\rangle=-\frac{32}{5}\frac{G^4}{c^5}\frac{m_1^2m_2^2(m_1+m_2)}{a^5}\frac{1+\frac{73}{24}e^2+\frac{37}{96}e^4}{(1-e^2)^{7/2}}\tag{8}$$

y

$$\left\langle\frac{dL}{dt}\right\rangle=-\frac{32}{5}\frac{G^{7/2}}{c^5}\frac{m_1^2m_2^2(m_1+m_2)^{1/2}}{a^{7/2}}\frac{1+\frac{7}{8}e^2}{(1-e^2)^2}\tag{9}.$$

Derivando (3) da

$$\frac{da}{dt}=\frac{Gm_1m_2}{2}\frac{1}{E^2}\frac{dE}{dt}\tag{10}$$

y derivando (4) da

$$e\frac{de}{dt}=\frac{m_1+m_2}{G^2m_1^3m_2^3}\left(L^2\frac{dE}{dt}+2EL\frac{dL}{dt}\right)\tag{11}.$$

Sustituyendo (1), (2), (8) y (9) en (10) y (11) da

$$\left\langle\frac{da}{dt}\right\rangle=-\frac{64}{5}\frac{G^3}{c^5}\frac{m_1m_2(m_1+m_2)}{a^3}\frac{1+\frac{73}{24}e^2+\frac{37}{96}e^4}{(1-e^2)^{7/2}}\tag{12}$$

y

$$\left\langle\frac{de}{dt}\right\rangle=-\frac{304}{15}\frac{G^3}{c^5}\frac{m_1m_2(m_1+m_2)}{a^4}\frac{e(1+\frac{121}{304}e^2)}{(1-e^2)^{5/2}}\tag{13}.$$

Puede ver que la tasa de disminución de la excentricidad es muy rápida para una órbita altamente excéntrica con$e$cerca$1$, debido a la$(1-e^2)^{5/2}$en el denominador. En otras palabras, la órbita se circulariza rápidamente.

A partir de estas ecuaciones, Peters procede a encontrar$a$como una función de$e$(con dos exponentes inusuales,$12/19$y$870/2299$) y una ecuación diferencial para$e(t)$a partir del cual se puede encontrar la vida útil del binario.

Una órbita circular es aquella que minimiza la energía (cinética más potencial) para un momento angular dado.

Si un proceso irradia energía lejos del sistema sin llevarse el momento angular, entonces la órbita se relajará naturalmente a una configuración circular. Este podría ser el caso aproximado de un objeto en una órbita excéntrica que interactúa con un disco de gas y polvo, por ejemplo, donde la energía puede disiparse e irradiarse.

Sucede algo similar con las ondas gravitacionales, excepto que la complicación aquí es que las ondas gravitacionales también quitan algo de momento angular. Resulta, y la respuesta de @G.Smith muestra por qué, que la tasa de pérdida de momento angular no es lo suficientemente alta, en comparación con las pérdidas de energía, para evitar la circularización.

El efecto es bastante extremo en sistemas binarios excéntricos de período corto porque la luminosidad en las ondas gravitacionales es dimensionalmente proporcional a$L \sim M^2R^2 \omega^6$, dónde$\omega$es la velocidad angular y$R$es la separación orbital. Pero si establecemos$v \sim R\omega$, entonces$L \sim M^2 R^{-4} v^6$. Esta fuerte dependencia de la velocidad orbital (y la dependencia inversa del radio orbital) es lo que hace que esto sea más eficiente en las binarias excéntricas, porque pasan partes de sus órbitas con un radio orbital más pequeño y una velocidad orbital más rápida que una binaria circular.