¿En qué dirección se emitirían las ondas gravitacionales cuando chocaran dos agujeros negros?

En un comentario explicaste que estás interesado en la distribución angular de la potencia radiada como ondas gravitacionales.

Cuando los dos agujeros negros están muy juntos, el análisis probablemente sea complicado y requiera relatividad numérica . Pero cuando la separación de los dos agujeros negros es considerablemente mayor que sus radios de Schwarzschild, el enfoque analítico no relativista del artículo de 1963 " Gravitational Radiation from Point Masses in a Keplerian Orbit " de Peters y Matthews es válido.

La distribución de potencia angular viene dada por la ecuación (5),

$$\frac{dP}{d\Omega}=\frac{G}{8\pi c^5}\left[\dddot{Q}_{ij}\dddot{Q}_{ij}-2n_i\dddot{Q}_{ij}n_k\dddot{Q}_{kj}-\frac12(\dddot{Q}_{ii})^2+\frac12(n_in_j\dddot{Q}_{ij})^2+\dddot{Q}_{ii}n_jn_k\dddot{Q}_{jk}\right],$$

dónde$\hat n$es el vector unitario en la dirección de la radiación y

$$Q_{ij}=\sum_n m^{(n)}x^{(n)}_ix^{(n)}_j$$

es el tensor de cuadrupolo de masas de las dos masas alrededor de su centro de masa.

Tomando el$z$(no$x$) para estar a lo largo de la dirección de movimiento de los dos agujeros, solo hay un componente distinto de cero de$Q_{ij}$, a saber$Q_{zz}$, y será proporcional al cuadrado de la separación. Su tercera derivada en el tiempo es irrelevante para la cuestión de la distribución angular.

Ya que solo$Q_{zz}$es distinto de cero, se encuentra que sólo$n_z=\cos\theta$, dónde$\theta$es el ángulo polar habitual desde el$z$-eje, entra en las contracciones. El resultado se encuentra fácilmente para ser

$$\begin{align} \frac{dP}{d\Omega}&=\frac{G}{8\pi c^5}\left[\dddot{Q}_{zz}\dddot{Q}_{zz}-2n_z\dddot{Q}_{zz}n_z\dddot{Q}_{zz}-\frac12(\dddot{Q}_{zz})^2+\frac12(n_zn_z\dddot{Q}_{zz})^2+\dddot{Q}_{zz}n_zn_z\dddot{Q}_{zz}\right]\\ &=\frac{G}{8\pi c^5}(\dddot{Q}_{zz})^2\left[1-2\cos^2\theta-\frac12+\frac12\cos^2\theta+\cos^2\theta\right]\\ &=\frac{G}{16\pi c^5}(\dddot{Q}_{zz})^2\sin^2\theta. \end{align}$$

Por lo tanto, no se irradia energía a lo largo de la línea de movimiento; la potencia radiada es máxima perpendicular a la línea de movimiento; y el patrón de radiación es simétrico en relación con ese plano perpendicular incluso cuando los dos agujeros negros tienen masas diferentes.

Anexo: como @mmeent explica en otra respuesta, mi último punto sobre la simetría relativa al plano perpendicular ya no se sostiene cuando también se consideran contribuciones multipolares más pequeñas y de orden superior. El cálculo aquí es un cálculo de orden principal (cuadrupolo).

Gran parte de esta pregunta puede responderse cualitativamente basándose en argumentos básicos de simetría sin hacer ningún cálculo ni recurrir a ninguna aproximación.

La observación clave aquí es un sistema que consta de dos agujeros negros (que no giran) en una trayectoria para una colisión frontal simétrica alrededor del eje de movimiento. Esto implica que las ondas gravitatorias resultantes deben tener la misma simetría.

Ahora, las ondas gravitatorias tienen la interesante propiedad de que cualquier configuración axisimétrica (y uniforme) de ondas gravitatorias debe desaparecer a lo largo del eje de simetría. En última instancia, esto es una consecuencia de que las ondas gravitacionales están descritas por un campo de espín-2. En consecuencia, no se emite radiación gravitacional a lo largo del eje de simetría.

Una consecuencia secundaria es que la polarización de todas las ondas gravitacionales debe estar alineada con el eje de simetría.

Si ambos agujeros negros tienen la misma masa, entonces el sistema tiene una simetría adicional (cuando se ve en el marco del centro de masa): intercambio de los dos agujeros negros, o de manera equivalente, reflejo del sistema a través del plano perpendicular al eje de simetría y que contiene el centro de masa. Dado que las ondas gravitatorias emitidas deben satisfacer esta simetría, la distribución de las ondas gravitatorias debe ser simétrica alrededor de este plano central. En particular, el momento lineal neto arrastrado por las ondas gravitatorias debe ser cero.

Si las masas son desiguales, el sistema es asimétrico alrededor del plano central y, en general, se emitirán más ondas gravitatorias en una dirección que en la otra (¡aunque todavía ninguna exactamente a lo largo del eje de simetría!). El resultado es una emisión neta de momento lineal y, en consecuencia, el agujero negro formado a partir de la fusión tendrá algo de momento lineal en el marco del centro de masa original.

Por supuesto, para obtener un resultado cuantitativo, uno debe hacer algún cálculo. Se puede hacer la aproximación de campo débil como en la respuesta de G. Smith (aunque se usó la aproximación de cuadrupolo para perder la asimetría para masas desiguales). Debido al alto grado de simetría, este sistema ha sido objeto de algunas de las primeras investigaciones en relatividad numérica. (Por ejemplo, la primera simulación de masas iguales gr-qc/9309016 , o la primera simulación de masas desiguales gr-qc/9806031 ) Alternativamente, uno puede estudiar colisiones frontales en el límite de relación de masa pequeña ( gr-qc/9609012 ).