Formalismo y representación en Mecánica Cuántica

Solo tengo curiosidad sobre el formalismo de la mecánica cuántica básica. Tomemos por ejemplo el sistema de un spin- 1 2 partícula. El estado de la partícula se describe mediante un vector en un espacio abstracto de Hilbert que es bidimensional (digamos H ). El conjunto de Endomorfismos en H formar un grupo (que espero sea el S tu ( 2 ) grupo). Ahora solo definiré un mapa endomórfico abstracto en H , tal que

σ ^ z : | + ⟩ → | + ⟩ | | | − ⟩ → − | − ⟩
dónde | + ⟩ , | − ⟩ ∈ H

Claramente, el operador σ ^ z es hermitiano y los vectores propios son ortonormales y, por lo tanto, se pueden elegir como un conjunto base. Por lo tanto, cualquier vector arbitrario se puede expandir sobre esto.

| ψ ⟩ = C + | + ⟩ + C − | − ⟩     w h mi r mi     C ∋ C ± = ⟨ ± | ψ ⟩
Ahora, por lo que he aprendido hasta ahora, veo que puedo construir un mapa llamado Representación R tales todos los elementos para H se asigna a C 2

R : H → C 2 | R ( | ψ ⟩ ) = ( C + C − )

Creo que este mapa de representación conserva el producto interno también. Por ejemplo,

⟨ ϕ | ψ ⟩ → ( d + d − ) ( C + C − ) ∈ C

Además, los operadores también se pueden asignar mediante este mapa de representación, donde los operadores abstractos se asignan a matrices cuadradas.

R : Fin ( H ) → Fin ( C 2 ) | R ( A ^ ) = ( ⟨ + | A ^ | + ⟩ ⟨ + | A ^ | − ⟩ ⟨ − | A ^ | + ⟩ ⟨ − | A ^ | − ⟩ )

Con esta configuración, las matrices de Pauli y la irrep 2-D del vector corresponden a este mapa R bien ? Entonces todas esas cosas corresponden a una representación construida usando los vectores propios de σ z ?

También deseo saber cómo se haría este tipo de conexión en los casos de base de posición, especialmente entre | X ⟩ y L 2 espacios.

PD: Sé que esta pregunta es de menor utilidad para cualquier comunidad de investigación en particular o incluso para las personas que aprenden, pero esto es solo por curiosidad. Perdón si es una pregunta muy ridícula.

Respuestas (1)

Para la relación entre la base de la posición abstracta y la L 2 espacios, lo remito a mi respuesta aquí (lea las otras respuestas también, son buenas;))

Está bastante cerca de su comprensión de las representaciones, pero no del todo:

En primer lugar, para el spin- 1 2 Espacio de Hilbert H ↑↓ , el conjunto de endomorfismos mi norte d ( H ↑↓ ) no es S tu ( 2 ) , pero la totalidad de las matrices 2D, es decir C 2 × 2 . Esto se debe a que cada espacio de dimensión de Hilbert de dimensión finita norte es ante todo un espacio vectorial complejo, y todos estos son isomorfos a C norte .

Ahora, una representación de un grupo dado GRAMO en cualquier espacio V es solo un homomorfismo ρ : GRAMO → A tu t ( V ) . Ya que tenemos la inclusión S tu ( 2 ) ⊂ C 2 × 2 , el espacio H ↑↓ viene preequipado con una representación de S tu ( 2 ) . Desde S tu ( 2 ) es un grupo de Lie , tiene generadores que se encuentran en su álgebra de Lie, y cada representación ρ del grupo de Lie induce una representación d ρ : L i mi A yo gramo ( GRAMO ) → mi norte d ( V ) del álgebra (y viceversa, con algunas salvedades).

[Los grupos de mentiras son cosas asombrosas y muy fundamentales para la física teórica, especialmente para la comprensión de las simetrías. Te aconsejo que trates de aprender más cosas sobre ellos de las que diré aquí.]

Los tres generadores de S tu ( 2 ) se denotan canónicamente σ X , σ y , σ z . Ahora puede elegir vectores propios de (p. ej.) d ρ ( σ z ) en H ↑↓ y úsalos como tu base. Si llamas a estos vectores propios | ± ⟩ (no es casualidad que los valores propios de σ X , y , z en la representación fundamental (eso es lo que es esto) son + 1 y − 1 ), ha definido la misma base que tiene en su OP.

Por supuesto, en este ejemplo concreto donde el espacio objetivo H ↑↓ es simplemente isomorfo a C 2 , el espacio en el que S tu ( 2 ) se define de forma nativa, d ρ y ρ son solo mapas de identidad (más precisamente: inclusión).

Ahora, todo lo demás que llamó representación en su pregunta es solo un cambio de base "ordinario", esto es lo que significa elegir los vectores propios de σ z como una nueva base para el espacio vectorial C 2 .

Siéntase libre de pedir aclaraciones/adiciones si no he entendido el punto de su pregunta o si no entendió algo.

Tienes toda la razón sobre el grupo, el SU (2) es solo un subconjunto que conserva la norma tras la transformación. Culpa mía ! Gracias
@user35952: Correcto. Aunque tenga en cuenta que el tu ( 2 ) sería el grupo completo de transformaciones conservadoras de normas, pero no queremos eso para nuestros espinores, ya que incluye "reflejos" así como "rotaciones", mientras que el S tu ( 2 ) solo tiene "rotaciones" (también conserva la orientación ). (Además, tiene mejores propiedades)
El cambio de base en el espacio. C 2 es diferente. Estoy hablando del hecho de que si elegimos los vectores base de σ X , las matrices de Pauli cambiarán. Entonces, las matrices de Pauli son básicamente los operadores solo si construimos el mapa de representación usando los vectores base de σ z bien ?
Si cambia a la base propia de una matriz, esa matriz tendrá forma diagonal en esa base, por lo que las matrices de Pauli cambiarán si cambia la base. La forma "canónica" de las matrices de Pauli se basa en alguna base preseleccionada de la C 2 en cuestión y luego tomando el mapa de inclusión como la representación. Si elige otra base de C 2 de antemano, obtendrá una representación superficialmente diferente, pero isomorfa.
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