¿Por qué no hay concavidad en la órbita de la luna alrededor del sol?

La expresión de Turner para el radio de curvatura ρ es correcta, pero en el caso (3), ρ = -0.988 a donde la Luna está en el primer o último cuarto ( θ = 7.5° o 22.5°). Donde la Luna está llena ( θ = 15°), ρ debería ser -0.749 a .

El caso (1) modela una nave espacial estacionada en L1 ( b = a / 100, ρ = -0.99 a ) o L2 ( b = - a / 100, ρ = -1.01 a ), aproximadamente 4 veces la distancia lunar desde la Tierra.

El valor b del ejemplo del caso (2) es demasiado grande para una órbita estable alrededor de la Tierra. En su lugar, podemos modelar un satélite geosíncrono con n = 366 yb = a / 3550. Entonces ρ es +0.0218 a en el lado diurno y -0.0314 a en el lado nocturno. Esta trayectoria es alternativamente cóncava hacia y desde el Sol, asemejándose a la figura 1 de Turner pero con ondas más cortas.

Entre los casos (2) y (3) podemos encontrar parámetros tales que, en el lado soleado de la Tierra, el denominador de la expresión ρ tiende a cero y la trayectoria es momentáneamente recta. Este es casi el caso si n = 24 yb = a / 575, correspondiente a una órbita de 15,2 días a 0,677 de distancia lunar.

Cualquier curvatura en la trayectoria de un objeto se debe a la aceleración en la dirección de la fuerza neta que actúa sobre él. Sabemos por Newton que

Para la Luna, el Sol está ~390 veces más lejos que la Tierra pero 330 000 veces más masivo, por lo que el Sol atrae aproximadamente el doble de fuerza:$F_\oplus$≈ 0,45$F_\odot$. En luna llena, tanto el Sol como la Tierra atraen a la Luna en la misma dirección y la fuerza combinada es 1,45$F_\odot$hacia el sol. En luna nueva tiran en direcciones opuestas; la fuerza resultante es solo 0.55$F_\odot$pero todavía hacia el sol. Mientras que el radio de curvatura fluctúa, la dirección de la curvatura nunca se invierte.

Para un satélite geosíncrono a 0,11 de distancia lunar,$F_\oplus$≈ 38$F_\odot$. En el lado nocturno de la Tierra, la fuerza resultante es 39$F_\odot$hacia el sol. En el lado del día, es 37$F_\odot$ lejos del sol.

Prólogo

¿Por qué no hay concavidad en la órbita de la luna alrededor del sol?

Esta es una buena pregunta y, por supuesto, tiene toda la razón al preguntarse cómo es posible que orbite alrededor del Sol sin que su trayectoria sea cóncava al Sol no solo un poco de tiempo, sino durante una fracción sustancial de cada órbita alrededor de la Tierra.

Respuesta

La respuesta es que el movimiento de la Luna siempre es cóncavo al Sol y no hay nada en el artículo que diga lo contrario. La curvatura no suele tener signo. Cuando dibujamos problemas podemos decir "curvas a la izquierda o a la derecha" pero$k = 1/R$dónde$R$es el radio del círculo osculador , y siempre tomamos el valor positivo para$R$. Si pasamos a una notación vectorial más compleja e incluimos la dirección del movimiento, podemos hablar sobre la dirección del vector de momento angular, pero eso está más allá del alcance de este problema.

Al comienzo del artículo, el autor dice explícitamente que la órbita de la Luna siempre es cóncava al Sol:

Sin embargo, debido al hecho de que la distancia de la Luna a la Tierra es muy pequeña en comparación con la distancia de la Tierra al Sol (alrededor de 1/400), y también al hecho de que da alrededor de 13 revoluciones alrededor de la Tierra en un año, es mejor considerar la trayectoria de la Luna como la de un cuerpo que describe una órbita alrededor del Sol, y que está constantemente siendo levemente perturbado por la atracción de la Tierra. Tal trayectoria siempre sería cóncava al Sol, pero cercana a la órbita de la Tierra, cruzándola dos veces al mes.

Figura 1. Representación incorrecta del movimiento de la Luna.

Epílogo

Entonces, ¿cómo se comportan las distancias Tierra-Sol y Luna-Sol si olvidamos que se mueven en círculos gigantes?

Si olvidamos que la concavidad principal siempre está ahí y solo observamos la fluctuación, la Tierra se acerca y se aleja un poco durante el año, ¡pero la Luna está bastante ocupada! Se mueve constantemente un poco más cerca y un poco más lejos. ¡Esto no significa que el movimiento no sea siempre cóncavo hacia el Sol, pero sí significa que la distancia entre la Luna y el Sol tenía más de una docena de máximos y mínimos por año! ¿Quién lo hubiera pensado?

Pitón:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skyfield.api import Topos, Loader       
load = Loader('~/Documents/fishing/SkyData')  # avoids multiple copies of large files
data = load('de421.bsp')
ts = load.timescale()
times = ts.utc(2020, 1, np.arange(367))
sun, earth, moon = [data[x].at(times).position.km for x in ('sun', 'earth', 'moon')]
r_earth = np.sqrt(((earth - sun)**2).sum(axis=0))
r_moon = np.sqrt(((moon - sun)**2).sum(axis=0))
plt.figure()
plt.plot(r_earth - r_earth.mean())
plt.plot(r_moon - r_moon.mean())
plt.title('daily solar distances for Earth and Moon for 2020', fontsize=14)
plt.ylabel('Deviation from mean (km)', fontsize=14)
plt.xlabel('Days in 2020', fontsize=14)
plt.show()

Aquí hay una muestra rápida de cómo se vería la Vista incorrecta si fuera correcta según la solicitud en los comentarios:

Aquí hay un video y un GIF de esta respuesta.

Lea más sobre las herramientas utilizadas para hacer este video en esta respuesta .

GIF a continuación: Capturas de pantalla de la animación de puntos de lagrange del video de YouTube .

Creo que lo que te puedes estar perdiendo es que$\rho$es un valor que cambia suavemente. Las funciones enumeradas son continuas y diferenciables en todas partes, y como dice el texto, nunca hay un cambio de signo. El camino que sigue la luna no es "ondulado", aunque va de atrás hacia adelante de la Tierra.

Mi pregunta es, entonces, ¿cómo se las arregla la órbita de la Luna para no tener ninguna concavidad, sin importar cuán diminuta sea, mientras pasa de la posición de luna llena a la de luna nueva? ¿No es eso una imposibilidad matemática?

Respuesta TL;DR: Debido a que la aceleración gravitatoria de la Luna hacia el Sol es aproximadamente el doble de la aceleración gravitatoria de la Luna hacia la Tierra y porque la velocidad a la que la Tierra orbita alrededor del Sol es aproximadamente treinta veces la velocidad a la que la Luna orbita alrededor del Sol. Tierra.

Para obtener la respuesta más larga, se necesita una definición de lo que significa "convexidad". Esto es fácil para una curva de plano cerrado simple: una curva de plano cerrado simple (también conocida como curva de Jordan ) es convexa si para dos puntos cualquiera en el interior de la curva, todos los puntos en el segmento de línea que conecta los dos puntos se encuentran en el interior de la curva.

Desafortunadamente, ni la trayectoria de la Tierra ni la de la Luna alrededor del Sol son cerradas o planas. Para resolver estos problemas, primero haré lo que hizo el documento al que se hace referencia, que fue investigar las órbitas circulares coplanares de un planeta de masa puntual alrededor de una estrella y de una luna infinitesimal de masa puntual alrededor del planeta, de modo que

• La velocidad de la órbita del planeta.$v_p$sobre la estrella es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la distancia$r_p$entre la estrella y el planeta,
• La velocidad de la órbita de la luna$v_m$sobre el planeta es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la distancia$r_m$entre el planeta y la luna, y
• La constante de proporcionalidad para el planeta.$\left(\frac{{v_p}^2}{r_p}\right)$es mucho mayor que el de la luna$\left(\frac{{v_m}^2}{r_m}\right)$.

Para valores suficientemente pequeños de$r_m$, la velocidad orbital de la luna alrededor del planeta excederá la del planeta alrededor de la estrella, haciendo que la trayectoria de la luna alrededor de la estrella se interseque a sí misma:

Los bucles se vuelven pequeños a medida que aumenta la distancia orbital de la luna, y eventualmente se convierten en cúspides que apuntan hacia adentro en el punto donde la velocidad orbital de la luna alrededor del planeta ha disminuido hasta donde es igual a la velocidad orbital del planeta alrededor del sol. Si bien esta curva puede o no estar cerrada, definitivamente no es convexa debido a las cúspides que miran hacia adentro. Las cúspides se ensanchan en intervalos donde la normal primaria apunta hacia afuera a medida que el radio orbital de la luna aumenta aún más:

Esta curva aún no es convexa, como lo demuestra la forma en que la normal primaria alterna entre apuntar hacia adentro y hacia afuera. la curvatura del camino de la luna alrededor de la estrella es cero en estos puntos de transición: El camino, al menos instantáneamente, es una línea recta. Esto sucede porque el vector de aceleración es paralelo al vector de velocidad en esos puntos de transición.

Los intervalos en los que la trayectoria de la luna alrededor del sol es cóncava en lugar de convexa se reducen a medida que la distancia orbital de la luna aumenta aún más. En algún punto crítico, los intervalos de concavidad se reducen a la nada. El camino es convexo en todas partes a esta distancia orbital y más allá:

Estos puntos críticos ocurren donde la aceleración de la luna hacia la estrella es idénticamente cero. Esto no debería sorprender, ya que existe una conexión muy estrecha entre la velocidad, la aceleración y la curvatura. En particular, la curvatura de una curva en algún punto es

Tenga en cuenta que el vector$\vec v \times \vec a$apunta en la dirección de la unidad binormal. Esto sugiere una métrica simple que se extiende a órbitas no planas: una órbita alrededor de algún punto central si el producto cruzado entre la velocidad y la aceleración con respecto a ese punto central siempre se encuentra en el mismo semiplano. Una métrica aún más fácil es probar si la magnitud de la aceleración gravitatoria hacia la estrella es mayor que la del planeta.