¿Por qué no es E≈27.642×mc2E≈27.642×mc2E \approx 27.642 \times mc^2?

Question

¿Por qué no es E≈27.642×mc2E≈27.642×mc2E \approx 27.642 \times mc^2?

unidades
Física
metrología
constantes físicas
análisis dimensional

malo

¿Por qué muchas de las ecuaciones físicas más importantes no tienen números feos (es decir, factores irracionales "arbitrarios") para alinear ambos lados?

¿Por qué tantas ecuaciones pueden expresarse tan claramente con pequeños números naturales mientras se recicla un conjunto relativamente pequeño de constantes físicas y matemáticas?

Por ejemplo, ¿por qué la equivalencia masa-energía se puede describir mediante la ecuación $E = mc^2$ y no algo como $E \approx 27.642 \times mc^2$ ?

¿Por qué la dilatación del tiempo se puede describir con algo tan claro como $t' = \sqrt{\frac{t}{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ y no algo feo como $t' \approx 672.097 \times 10^{-4} \times \sqrt{\frac{t}{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ .

... Etcétera.

No estoy bien educado en cuestiones de física, por lo que me siento un poco avergonzado al preguntar esto.

Del mismo modo, no estoy seguro de si esta es una pregunta más filosófica o una que permite una respuesta concreta... o tal vez incluso la premisa de la pregunta en sí es defectuosa... así que agradecería considerar cualquier cosa que arroje luz sobre la naturaleza de la pregunta misma como respuesta.

EDITAR : solo deseaba dar un poco más de contexto sobre de dónde venía con esta pregunta en función de algunas de las respuestas:

@Jerry Schirmer comenta:

Tienes un factor feo de $2.997458 \times 10^8 m/s$ delante de todo. Simplemente ocultas la fealdad llamando a este número c.

Estos no son los tipos de "constantes feas" de las que estoy hablando, ya que este número es la velocidad de la luz. No es solo una constante necesaria para equilibrar dos lados de una ecuación.

@Carl Witthoft responde:

Todo está en cómo definas las unidades...

Por supuesto que esto es cierto, en teoría podríamos ocultar todo tipo de feas constantes usando diferentes unidades a la derecha ya la izquierda. Pero como en el caso de $E=mc^2$ , estoy hablando de ecuaciones donde las unidades de la izquierda son consistentes con las unidades de la derecha, independientemente de las unidades utilizadas. Como mencioné en un comentario allí:

$E=mc^2$ podría definirse usando unidades como $m$ en piedras imperiales ( $\textsf{S}$ ), $c$ en codos/quincena ( $\textsf{CF}^{−1}$ ) y $E$ en... mmm... $\textsf{SC}^2\textsf{F}^{−2}$ ... mientras las unidades estén en el mismo sistema, aún no necesitamos un factor de fudge.

Cuando las unidades son consistentes de esta manera, no hay lugar para ocultar constantes falsas.

difeomorfismo

"¿Por qué la dilatación del tiempo se puede describir con algo tan claro como..." bueno, porque

t^{'} = t

$t' = t$ si

v = 0

$v=0$ , por lo que la expresión en una serie de Taylor de v debe comenzar con un factor de uno cerca de la

t

$t$ . Esto es cierto para todas las transformaciones que son descritas por pequeños movimientos alrededor de la identidad (grupos de Lie)

Roberto Mastragostino

Estas fórmulas se derivan de suposiciones más básicas; no son solo coincidencias numéricas aleatorias que se nos ocurrieron. Y normalmente, cuando solo tenemos unas pocas variables y unas pocas operaciones simples, en realidad no hay oportunidades para que aparezcan números extraños. Podrías preguntar lo mismo sobre la fórmula cuadrática o el teorema de Pitágoras; No creo que este fenómeno sea peculiar de la física.

zzz

Hay una respuesta barata para la primera pregunta y el título: supongamos que terminamos con un coeficiente numérico, podemos tomar su raíz cuadrada y absorberlo en c.

malo

@bechira, sí, pero como dices, eso es un poco barato, ya que c es la velocidad de la luz.

malvado999hombre

E = 27.642 m c^{2}

$E=27.642mc^2$ dónde

E

$E$ es en

Joules

$\text{Joules}$ ,

m

$m$ es en

cool unit

$\text{cool unit}$ y

c

$c$ en

m s^{- 1}

$ms^{-1}$ .

1 cool unit = \frac{1}{27.642} k g

$1 \text{cool unit}=\frac{1}{27.642} kg$

jerry schirmer

Tienes un factor feo de

2.997458 \times 10^{8}

$2.997458\times 10^{8}$ m/s delante de todo. Solo escondes la fealdad llamando a este número

c

$c$

Lagerbaer

Pero ¿no es entonces una sorpresa que este feo número al que llamamos

c

$c$ es también la velocidad de la luz?

Juan Alexiou

No se necesitan factores feos cuando se usan unidades consistentes . Entonces depende de la definición de metro , julio y segundo , etc.

malo

@ ja72, pero para algunas ecuaciones, no importa cuáles sean las unidades, ya que se cancelan. Como mencioné en un comentario a continuación, no

E = m c^{2}

$E = mc^2$ funciona incluso si considera unidades como piedras imperiales, codos/quincena y (piedras imperiales)

\cdot

$\cdot$ (codos/quincena)

^{2}

$^2$ ? En otras palabras, todo lo que tiene que hacer es usar unidades consistentes (no unidades SI) para que muchas de estas ecuaciones funcionen, ¿verdad?

Juan Alexiou

Sí, como dije, la clave es usar unidades consistentes .

malo

@ ja72, ah sí, lo siento, ¡leí mal tu comentario! :) Por alguna razón lo leí como "No. Factores feos...".

jerry schirmer

@Lagerbaer:

c

$c$ es el factor de conversión entre distancia y tiempo. Que la luz vaya a esa velocidad es un resultado derivado. No es coincidencia.

jerry schirmer

@badroit: no funciona si no usa unidades consistentes , digamos, si mide

E

$E$ en calorías, pero todo lo demás en unidades SI estándar. Uno puede imaginar un mundo en el que descubrimos reactores atómicos naturales antes de descubrir la equivalencia de la energía termodinámica y mecánica, por ejemplo.

usuario10851

La respuesta no tiene nada que ver con la elección de unidades o la "naturalidad", como parece pensar todo el mundo. Y, de hecho, la falta de una constante en la fórmula para la dilatación del tiempo conduce directamente a la falta de una constante en

E = m c^{2}

$E=mc^2$ . Un buen lugar para comenzar es la carta de 1905 de Einstein (lamentablemente bastante concisa) . Si encuentro más tiempo después (y si nadie más lo ha hecho todavía), puedo escribir las ideas de Einstein en un lenguaje más moderno.

eduardo hughes

@ChrisWhite: tiene razón en que la razón subyacente de

E = m c^{2}

$E=mc^2$ son solo los postulados de la relatividad especial. He detallado un par de referencias menos concisas en mi respuesta. Pero no diría que esto no tiene nada que ver con la naturalidad. En realidad

E = m c^{2}

$E=mc^2$ es un gran ejemplo de donde funciona el principio de naturalidad. Por supuesto, la naturalidad no puede explicar por qué

E = m c^{2}

$E=mc^2$ en cualquier nivel profundo, pero sirve como una guía intuitiva hacia la fórmula.

Deja Vu

@JerrySchirmer Buen comentario (+1), pero creo

c \approx 2.99792458 \times 10^{8} m s^{- 1}

$c \approx 2.99792458\times 10^8ms^{-1}$ :-)

usuario76284

El uso de unidades de Planck racionalizadas podría aclarar las cosas.

Respuestas (5)

¿Por qué no es E≈27.642×mc2E≈27.642×mc2E \approx 27.642 \times mc^2?

"¿Por qué la dilatación del tiempo se puede describir con algo tan claro como..." bueno, porque $t' = t$ si $v=0$ , por lo que la expresión en una serie de Taylor de v debe comenzar con un factor de uno cerca de la $t$ . Esto es cierto para todas las transformaciones que son descritas por pequeños movimientos alrededor de la identidad (grupos de Lie)
Estas fórmulas se derivan de suposiciones más básicas; no son solo coincidencias numéricas aleatorias que se nos ocurrieron. Y normalmente, cuando solo tenemos unas pocas variables y unas pocas operaciones simples, en realidad no hay oportunidades para que aparezcan números extraños. Podrías preguntar lo mismo sobre la fórmula cuadrática o el teorema de Pitágoras; No creo que este fenómeno sea peculiar de la física.
Hay una respuesta barata para la primera pregunta y el título: supongamos que terminamos con un coeficiente numérico, podemos tomar su raíz cuadrada y absorberlo en c.
@bechira, sí, pero como dices, eso es un poco barato, ya que c es la velocidad de la luz.
$E=27.642mc^2$ dónde $E$ es en $\text{Joules}$ , $m$ es en $\text{cool unit}$ y $c$ en $ms^{-1}$ . $1 \text{cool unit}=\frac{1}{27.642} kg$
Tienes un factor feo de $2.997458\times 10^{8}$ m/s delante de todo. Solo escondes la fealdad llamando a este número $c$
Pero ¿no es entonces una sorpresa que este feo número al que llamamos $c$ es también la velocidad de la luz?
No se necesitan factores feos cuando se usan unidades consistentes . Entonces depende de la definición de metro , julio y segundo , etc.
@ ja72, pero para algunas ecuaciones, no importa cuáles sean las unidades, ya que se cancelan. Como mencioné en un comentario a continuación, no $E = mc^2$ funciona incluso si considera unidades como piedras imperiales, codos/quincena y (piedras imperiales) $\cdot$ (codos/quincena) $^2$ ? En otras palabras, todo lo que tiene que hacer es usar unidades consistentes (no unidades SI) para que muchas de estas ecuaciones funcionen, ¿verdad?
@ ja72, ah sí, lo siento, ¡leí mal tu comentario! :) Por alguna razón lo leí como "No. Factores feos...".
@Lagerbaer: $c$ es el factor de conversión entre distancia y tiempo. Que la luz vaya a esa velocidad es un resultado derivado. No es coincidencia.
@badroit: no funciona si no usa unidades consistentes , digamos, si mide $E$ en calorías, pero todo lo demás en unidades SI estándar. Uno puede imaginar un mundo en el que descubrimos reactores atómicos naturales antes de descubrir la equivalencia de la energía termodinámica y mecánica, por ejemplo.
La respuesta no tiene nada que ver con la elección de unidades o la "naturalidad", como parece pensar todo el mundo. Y, de hecho, la falta de una constante en la fórmula para la dilatación del tiempo conduce directamente a la falta de una constante en $E=mc^2$ . Un buen lugar para comenzar es la carta de 1905 de Einstein (lamentablemente bastante concisa) . Si encuentro más tiempo después (y si nadie más lo ha hecho todavía), puedo escribir las ideas de Einstein en un lenguaje más moderno.
@ChrisWhite: tiene razón en que la razón subyacente de $E=mc^2$ son solo los postulados de la relatividad especial. He detallado un par de referencias menos concisas en mi respuesta. Pero no diría que esto no tiene nada que ver con la naturalidad. En realidad $E=mc^2$ es un gran ejemplo de donde funciona el principio de naturalidad. Por supuesto, la naturalidad no puede explicar por qué $E=mc^2$ en cualquier nivel profundo, pero sirve como una guía intuitiva hacia la fórmula.
@JerrySchirmer Buen comentario (+1), pero creo $c \approx 2.99792458\times 10^8ms^{-1}$ :-)
El uso de unidades de Planck racionalizadas podría aclarar las cosas.

robar · Answer 1

Es un efecto secundario de la irrazonable eficacia de las matemáticas . Estás en buena compañía pensando que es un poco extraño.

Muchas cantidades en física pueden relacionarse entre sí mediante unas pocas líneas de álgebra. Estos tienden a ser los modelos que consideramos "bonitos". Los términos manipulados por álgebra pura tienden a seleccionar factores enteros, o factores que son números enteros elevados a potencias enteras; si solo están involucradas unas pocas manipulaciones algebraicas, los números enteros y sus potencias tienden a ser pequeños.

Otras cantidades pueden estar relacionadas por unas pocas líneas de cálculo. Del cálculo obtienes los números trascendentales, que no se pueden relacionar con los números enteros resolviendo una ecuación algebraica. Pero hay muchas transformaciones algebraicas que puedes hacer para relacionar una integral con otra, y muchos de estos números trascendentales se pueden relacionar entre sí mediante factores de números enteros pequeños elevados a potencias de números enteros pequeños. Por eso pasamos mucho tiempo hablando de $\pi$ , $e$ , y a veces de Bernoulli $\gamma$ , pero en realidad no tengo una biblioteca completa de constantes irracionales para que la gente memorice.

La mayoría de las constantes con muchos dígitos significativos provienen de conversiones de unidades y son esencialmente accidentes históricos. Carl Witthoft da el ejemplo de $E=mc^2$ teniendo un factor numérico si quieres la energía en BTU. El BTU es el calor que se necesita para elevar la temperatura de una libra de agua en un grado Fahrenheit, por lo que además de la diferencia histórica entre kilogramos y libras y Rankine y Kelvin, está ligada a la capacidad calorífica del agua. ¡Es una gran unidad si estás diseñando una caldera! Pero no tiene ningún lugar en la ecuación de Einstein, porque $E\propto mc^2$ es un hecho de la naturaleza que es mucho más simple y más fundamental que el espectro de rotación y vibración de la molécula de agua.

Hay varios lugares donde hay constantes reales y adimensionales de la naturaleza que, hasta donde se sabe, no son números enteros pequeños y números trascendentales familiares elevados a potencias enteras pequeñas. La más famosa es probablemente la constante de estructura fina electromagnética $\alpha \approx 1/137.06$ , definida por la relación $\alpha \hbar c = e^2/4\pi\epsilon_0$ , donde esto $e$ es la carga eléctrica de un protón. La constante de estructura fina es la "fuerza" del electromagnetismo, y el hecho de que $\alpha\ll1$ es una gran parte de por qué podemos afirmar que "entendemos" la electrodinámica cuántica. Las interacciones "simples" entre dos cargas, como el intercambio de un fotón, contribuyen a la energía con un factor de $\alpha$ al frente, tal vez multiplicado por alguna razón de pequeños enteros elevados a pequeñas potencias. La interacción de intercambiar dos fotones "a la vez", que forma un "bucle" en el diagrama de Feynman, contribuye a la energía con un factor de $\alpha^2$ , al igual que todas las demás interacciones de "un bucle". Las interacciones con dos "bucles" (tres fotones a la vez, dos fotones y una fluctuación partícula-antipartícula, etc.) contribuyen a la escala de $\alpha^3$ . Ya que $\alpha\approx0.01$ , cada "orden" de interacciones aporta aproximadamente dos dígitos significativos más a cualquier cantidad que esté calculando. No es hasta el sexto o séptimo orden que comienzan a existir miles de diagramas de Feynman topológicamente permitidos, contribuyendo con tantos cientos de contribuciones a nivel de $\alpha^{n}$ que empieza a desbaratar el cálculo en $\alpha^{n-1}$ . Un punto de entrada a la literatura .

La teoría microscópica de la fuerza fuerte, la cromodinámica cuántica, es esencialmente idéntica a la teoría microscópica del electromagnetismo, excepto que tiene ocho gluones cargados en lugar de un fotón neutro y una constante de acoplamiento diferente. $\alpha_s$ . Desafortunadamente para nosotros, $\alpha_s \approx 1$ , por lo que para los sistemas con solo quarks ligeros, calcular algunas interacciones quark-gluón "simples" y detenerse da resultados que no tienen ninguna relación con la fuerza fuerte que vemos. Si hay un quark pesado involucrado, QCD es nuevamente perturbador, pero no tan exitoso como el electromagnetismo.

No existe una teoría que explique por qué $\alpha$ es pequeño (aunque ha habido esfuerzos ), y no hay teoría que explique por qué $\alpha_s$ es largo. Es un misterio. Y seguirá sintiéndose como un misterio hasta que se desarrolle algún modelo donde $\alpha$ o $\alpha_s$ puede calcularse en términos de otras constantes multiplicadas por números trascendentales y pequeños enteros elevados a pequeñas potencias, momento en el cual será nuevamente un misterio por qué las matemáticas son tan efectivas.

Un comentarista pregunta

¿No es α ya expresable en términos de constantes físicas o quisiste decir constantes matemáticas como π o e?

Ciertamente es cierto que

α \equiv \frac{{mi}^{2}}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{ℏ C}

$\alpha \equiv \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \frac1{\hbar c}$ define

α

$\alpha$ en términos de otras cantidades medidas experimentalmente. Sin embargo, una de esas cantidades no es como la otra. En mi opinión, lo adimensional

α

$\alpha$ es la constante fundamental del electromagnetismo; el tamaño de la unidad de carga y la polarización del vacío son cantidades derivadas relacionadas. Considere la fuerza de Coulomb entre dos cargas unitarias:

F = \frac{{mi}^{2}}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r^{2}} = α \frac{ℏ C}{r^{2}}

$F = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac1{r^2} = \alpha\frac{\hbar c}{r^2}$ Este es exactamente el tipo de formulación sobre la que preguntaba badroit: la fuerza depende de la cantidad mínima de momento angular

ℏ

$\hbar$ , la constante característica de la relatividad

c

$c$ , la distancia

r

$r$ , y una constante adimensional para la que no tenemos una buena explicación.

¡Esta es una muy buena respuesta! Lucho por entender algunos de los aspectos técnicos en el párrafo 5, pero entiendo la esencia de que incluso las constantes aparentemente arbitrarias de la naturaleza tienen una forma de calcularse a partir de estructuras más elementales. Esto me lleva a una pregunta relacionada (y muy ingenua): ¿son tales constantes siempre computables en papel o algunas se determinan experimentalmente? Si todas esas constantes son computables en papel, para mí esa es una buena respuesta a mi pregunta general: significa que deben formarse a partir de números enteros o números trascendentales/constantes matemáticas conocidas.
No existe (hasta ahora) ninguna teoría conocida que prediga el tamaño de la constante de estructura fina, o las proporciones de las masas de los quarks y los leptones. Esos números son, por ahora, simplemente hechos experimentales.
En el último párrafo, ¿a qué tipo de constantes se refiere en " $\alpha$ o $\alpha_s$ puede calcularse en términos de otras constantes"? ¿No es $\alpha$ ya expresable en términos de constantes físicas o quiso decir constantes matemáticas como $\pi$ o $e$ ?

Carlos Witthoft · Answer 2

Carlos Witthoft

Todo depende de cómo definas las unidades. $E = mc^2$ en bonitas unidades MKSA; pero luego cambie la energía a BTU y necesitará el siempre adorable "factor de fudge" allí.

La gente pasó mucho (bueno, algo) de tiempo desarrollando conjuntos autoconsistentes de unidades en gran medida para mantener las ecuaciones simples, aunque, como señaló Rijul, asignar números feos a constantes conocidas también oculta mucho.

Lagerbaer

Pero MKSA no se inventó explícitamente para hacer

E = m c^{2}

$E = mc^2$ una ecuación sin prefactores. No es como las unidades atómicas que usan los teóricos donde

ℏ

$\hbar$ y

m_{e}

$m_e$ y un montón de otras constantes salen a la luz

1

$1$ .

malo

¡Gracias! Había considerado esto antes... tal vez sea algún truco con las unidades... pero llegué a la misma conclusión que @Lagerbaer.

E = m c^{2}

$E= mc^2$ podría definirse usando unidades como

m

$m$ en piedras imperiales (

S

$\mathsf{S}$ ),

c

$c$ en codos/quincena (

{C F}^{- 1}

$\mathsf{CF}^{-1}$ ) y

E

$E$ en... mmm...

S C^{2} F^{- 2}

$\mathsf{S}\mathsf{C}^2\mathsf{F}^{-2}$ ... siempre y cuando las unidades estén en el mismo sistema, sigue siendo

E = m c^{2}

$E = mc^2$ , ¿Correcto?

eduardo hughes

@badroit: esencialmente tienes razón

E = m c^{2}

$E=mc^2$ siendo sorprendente si ha elegido las unidades de masa, longitud y tiempo de forma consistente. He explicado cómo funciona exactamente esto en mi respuesta a continuación.

Rijul Gupta · Answer 3

No diría que sé la respuesta, pero creo que tendemos a ocultar los números desagradables.

Ver la ecuación de Rydberg

\frac{1}{λ} = R (\frac{1}{{norte}_{1}^{2}} - \frac{1}{{norte}_{2}^{2}})

$\frac {1}{\lambda} = R (\frac {1}{n_1^2}-\frac {1}{n_2^2})$ dónde

R

$R$ esconde el número feo

R = 1.0973731568539 \times 10^{- 7} m^{- 1}

$R = 1.0973731568539×10^{-7}\ \mathrm{m}^{-1}$

De manera similar, observe el segundo postulado de Bohr

L = \frac{norte h}{2 π}

$L = \frac{nh}{2\pi}$ dónde

h

$h$ esconde el número feo

h = 6.62606957 \times 10^{- 34} k g \cdot m^{2} \cdot s^{- 1}

$h=6.62606957×10^{-34}\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1}$

Puede haber muchos más ejemplos, ¡pero supongo que esto es suficiente para aclarar mi punto!

Nota: los números que podrías llamar feos, otros podrían considerarlos extremadamente hermosos, ¡ya que algunas personas podrían considerar la constante de Planck como una belleza divina!

Addendum: se debe considerar la cantidad de ecuaciones con y sin tales números, ¡no creo que haya relaciones más hermosas que las feas!

¡Además, debe comenzar a incluir todos los números, incluso los números naturales simples como 1 y 2 en la lista de números feos! ¡Entonces, según esa definición, incluso la ecuación de la dilatación del tiempo tiene un "1" escondido allí!

Agregado con respecto al comentario: los números a los que se refirió como feos en su pregunta eran poco comunes y complicados, prácticamente he encontrado belleza en la simetría tanto completa como parcial, ¡leí en alguna parte que las plantas y todo son estéticamente agradables debido a la simetría parcial! Entonces, tal vez la simplicidad de los números racionales y la familiaridad con las constantes los hace menos feos que otros.

¿El votante negativo tendrá la amabilidad de explicar qué problema tuvo con la respuesta?
¡Gracias! De hecho, hay fórmulas con extrañas constantes físicas, pero el hecho de que haya tantas sin constantes físicas es realmente interesante para mí... y es un punto interesante sobre cuál es la diferencia entre números hermosos (1, 2, $\pi$ ) y feos... tal vez sea una cuestión de "la belleza está en el ojo del que mira".
-1 porque el ejemplo R tiene unidades y, por lo tanto, no es un número feo sino una cantidad significativa. El cartel pregunta sobre coeficientes sin unidades como $F = 2.39872 m a$ .
Voté negativamente porque pensé que la respuesta no entendió el punto de la pregunta. Ambos ejemplos son cantidades dimensionales que tienen muchos dígitos por razones históricas. Mientras que el factor de Rydberg fue inicialmente una constante empírica, la teoría moderna nos da $R = m_e c \alpha^2/2h$ , un producto de varias cantidades experimentales significativas y un número racional. Sin resentimientos, espero.
¡Criticaría sus votos a la baja porque simplemente ha votado a la baja porque no di constantes adimensionales! Cuando carl habla sobre el factor del engaño, puede que no tenga dimensiones, ¡pero no es menos significativo que los que di! Además, la pregunta es claramente acerca de encontrar más constantes que números en la ecuación, ya que uno podría haber escrito el valor numérico para "c" y perder fácilmente la belleza de la ecuación, ¡aunque el número tendría tanto significado como dimensión! Si encuentra justificado mi razonamiento, le pediría que recupere sus votos negativos.
@rijulgupta lo he elaborado en otra respuesta. Le recomiendo que siga el primer enlace en esa respuesta, al famoso ensayo de Wigner. La pregunta de badroit tiene un contenido filosófico real.
@rob: ¿eso significa que no está de acuerdo con mi justificación, o fue usted quien recuperó el voto negativo?

eduardo hughes · Answer 4

Me parece que hay dos formas de ver esta pregunta, dependiendo de lo que veas como fundamental. Al final del día, todo está relacionado con el sorprendente poder del análisis dimensional .

En dinámica clásica hay 3 cantidades dimensionales independientes. Estos son simplemente masa ( $M$ ), longitud ( $L$ ) y tiempo ( $T$ ). Una vez que haya elegido una unidad estándar para cada una de estas cantidades, todas las demás cantidades dimensionales se representan de forma única mediante un número y las unidades apropiadas.

Por ejemplo, la energía tiene unidades. $ML^2T^{-2}$ . Eso significa que una vez que haya establecido cantidades estándar de masa, longitud y tiempo, puede hablar de energía sin ambigüedades. Usualmente usamos unidades SI donde la energía viene con la unidad Joule ( $\mathrm J$ ) y

1 j = 1 k gramo {metro}^{2} s^{- 2}

$1\ \mathrm J = 1\ \mathrm{kg\ m^2\ s^{-2}}$

Entonces, desde esta perspectiva, es muy desconcertante que $E = mc^2$ funciona exactamente bien. Dicho de otra manera, la cantidad $E/mc^2$ es adimensional, por lo que alterar sus definiciones estándar de masa, longitud y tiempo no lo afecta. Entonces, ¿por qué diablos deberíamos encontrar que

mi / metro C^{2} = 1

$E/mc^2 = 1$

en lugar de los menos elegantes

mi / metro C^{2} = 27.1252

$E/mc^2 = 27.1252$

La respuesta se encuentra en una comprensión más detallada de la teoría especial de la relatividad de Einstein. Básicamente lo que logró Einstein fue reconciliar las siguientes ideas

La física se ve igual sin importar a qué velocidad estés viajando
La velocidad de la luz es una constante universal.

La solución de Einstein requiere exactamente que $E/mc^2=1$ . De hecho, puede derivar esta ecuación asumiendo la simetría de Lorentz y la noción de tiempo propio de Einstein. Hay un par de buenas cuentas disponibles en línea, aquí y aquí .

Pero posiblemente podrías haberlo adivinado $E=mc^2$ era cierto, solo por su conocimiento de las dimensiones. Piensa en un núcleo en descomposición. Este pierde masa y emite energía en forma de ondas electromagnéticas. Así que las tres cantidades involucradas son (ingenuamente) $E$ , $m$ y $c$ .

El análisis dimensional dice que deben estar relacionados por una ecuación

mi / metro C^{2} = k

$E/mc^2 = K$

dónde $K$ es un número adimensional. Un fuerte principio filosófico llamado naturalidad dice que $K$ debe ser mas o menos $1$ . A lo largo de los años, los físicos han descubierto que la naturalidad es una guía increíblemente buena para nuestra comprensión. Si las fórmulas son naturales, como $E=mc^2$ por lo general, es una señal de que la teoría subyacente es sólida.

Esto se vincula muy bien con la respuesta de Rob. Menciona algunas cantidades adimensionales que no están cerca de $1$ . Algunos físicos sienten que esto muestra que nuestros modelos están incompletos. Hay muchas soluciones propuestas que explican estas cantidades antinaturales. Se podrían descartar bastantes si el LHC no ve ninguna partícula nueva cuando se enciende nuevamente el próximo año. ¡Así que quizás para el 2016 estemos abandonando la naturalidad como guía!

Mencioné que había otra manera de ver la pregunta. Supongamos que tomamos nuestras unidades fundamentales como masa ( $M$ ), energía ( $E$ ) y velocidad ( $V$ ). Ahora, por supuesto, $E/mc^2$ ya no es una cantidad adimensional. tiene unidades de $EM^{-1}V^{-2}$ y podemos ajustar nuestras medidas estándar para obtener exactamente

mi = metro C^{2}

$E = mc^2$

Esto es precisamente de lo que hablaban Carl y Rijul. En un mundo donde tus unidades son fundamentalmente $M$ , $E$ y $V$ no hay misterio: la fórmula es solo un mnemotécnico útil para un hecho experimental.

¡Avísame si quieres más detalles!

Lo hiciste exactamente bien. No es una coincidencia matemática, Einstein lo derivó de la igualdad de la velocidad de la luz en todos los marcos de inercia. c entró en el cálculo relativamente simple.
De hecho, tampoco tuvo nada que ver con la elección de unidades. M y E ya tenían sus unidades, y c ya estaba medido. Proviene de la simetría de Lorentz. Como dijeron otros, no siempre es tan bueno, como para alfa.
Otra falta de coincidencia fue cómo la ecuación de Maxwell tiene ac al cuadrado en ellos. De hecho, las derivaciones tienen épsilon 0 y mu 0, permitividad de vacío y (no recuerdo qué es épsilon). Fue toda una victoria que esos resultaron ser c al cuadrado. Demostró que la luz es electromagnética.
Aunque acepté la respuesta de Rob, creo que esta respuesta complementa muy bien la respuesta de Rob. Muchos años después, estoy un poco desconcertado de que esta respuesta siga siendo muy subestimada.

Deschele Schilder · Answer 5

¡Buena pregunta!
La mayoría de los símbolos utilizados en las fórmulas físicas se refieren a cantidades físicas que se pueden medir. De ahí el nombre cantidad. Se miden en unidades. Si los símbolos en las fórmulas se encuentran en cierta relación entre sí, entonces también deberían estarlo los valores medidos. En su ejemplo, si la masa es un kilogramo (uno puede medir esto), y si esta masa (entonces el valor , no el símbolo) se multiplica por la velocidad de la luz al cuadrado (puede medir esta velocidad), entonces puede calcular la valor de la energía de la masa. Para ver si la relación entre los símbolos conjeturados por la fórmula es correcta se puede hacer una medida de la energía (aunque hacer una medida del valor de la energía en reposo de alguna masa es bastante difícil). Sobre esta base, puede aceptar una fórmula o rechazarla.
En física matemática (donde los símbolos se manipulan todo el tiempo), la mayoría de los símbolos no se refieren a cantidades medibles. Por ejemplo, en la teoría cuántica de campos. Por supuesto, el resultado final de toda esta manipulación debe referirse a cantidades medibles (en la teoría cuántica de campos, estas cantidades son en su mayoría secciones transversales de las reacciones de las partículas y las tasas de descomposición de las partículas) para determinar si toda la manipulación valió la pena a menos que te preocupes por cosas totalmente imaginarias. situaciones
Creo que ahora está claro por qué los teoremas (fórmulas) de la física no tienen que ser precisos siempre. Solo cuando la relación entre los símbolos se confirma mediante mediciones, esto es cierto.
Las fórmulas están limpias, la relación correspondiente entre los valores medidos a los que se refieren los símbolos en las fórmulas no lo estará. Bueno, cuanto más limpio es el último, más precisas se confirman las fórmulas.
También podemos ver que las fórmulas de la física se mantienen independientemente de las unidades que usemos. Las fórmulas son manipulaciones objetivas de símbolos (por supuesto que hacemos esta manipulación), mientras que las unidades de medida las inventamos nosotros. Puedes decir que la unidad de distancia es un parsec o una longitud de Planck. Esto no cambia la validez de $E=mc^2$ . Si cambiamos la unidad (medida) de una de las cantidades de un lado de la fórmula matemática (en este caso la medida de $c$ ), la medida de la unidad del otro lado cambiará en consecuencia ( $E$ en este caso).

¿Por qué no es E≈27.642×mc2E≈27.642×mc2E \approx 27.642 \times mc^2?

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