¿Por qué necesitamos saber la forma del tobogán para encontrar el tiempo para deslizarnos hacia abajo?

Solo para completar, explicaré cómo obtener el tiempo necesario para una curva arbitraria.

Si$h$es la altura inicial del niño y$y$la altura una vez que ha comenzado a caer. Por conservación de energía:

La distancia recorrida en un intervalo de tiempo muy pequeño se puede escribir como:

Entonces la velocidad es:

Insertando esta ecuación en$(1)$e integrar conduce a:

Esta integral te da el tiempo que tarda en llegar al suelo dada cualquier curva.$y(x)$.

Además, es posible obtener tal curva, la tautocrona , que el tiempo empleado es independiente del punto inicial:

Fuente de imagen

La forma del tobogán definitivamente determina cuánto tiempo lleva bajarlo. Considera si el tobogán fue completamente vertical. Ahora bien, cierto comediante famoso [recientemente fallecido :( ] tuvo los astutos poderes de observación para señalar que esto sería, de hecho, una caída, no un tobogán. Sin embargo, llegarías rápidamente al fondo. Ahora imagina si el tobogán fuera como una montaña rusa; bajó, luego volvió a subir, luego bajó, etc. solo llegando al suelo al final. Este movimiento hacia arriba y hacia abajo es puramente el resultado de la forma del tobogán y necesariamente debe tomar más tiempo que simplemente ir hacia abajo una vez Así que usted ve, encontrar el tiempo que se tarda en atravesar el tobogán depende en gran medida de la forma del tobogán

¿Por qué dice el autor que necesitaríamos saber la forma del tobogán para encontrar el tiempo que le tomó al niño llegar al fondo del tobogán?

Como has descubierto, la velocidad al descender por un tobogán sin fricción solo depende de la distancia vertical. Esta rapidez no es la componente vertical de la velocidad. Es la magnitud de la velocidad. La componente vertical de la velocidad será menor que esto en un tobogán inclinado.

Para hacer la geometría lo más simple posible, miraré las rampas inclinadas (sin baches, sin curvas; solo una rampa en algún ángulo inclinado con respecto a la horizontal). Para simplificar los números, usaré g = 10 m/s ² en lugar de 9,80665 m/s ² . Supongamos que el tobogán tiene una caída vertical de 5 metros. Eso significa que la velocidad en la parte inferior del tobogán es de 10 m/s. La velocidad media es la mitad de eso, 5 m/s.

Ahora coloquemos diapositivas de diferentes longitudes en su lugar. Un tobogán de 5 metros de largo significa que estás cayendo en lugar de deslizarte. Se tarda un segundo en caer 5 metros. ¿Qué pasa si usamos un tobogán de diez metros de largo (es decir, inclinado en un ángulo de 30 grados con respecto a la horizontal). La velocidad no ha cambiado, pero la distancia se ha duplicado. Se tarda dos segundos en deslizarse por este tobogán; el doble de largo que la caída vertical. Use un tobogán aún más largo, pero aún con una caída vertical de 5 metros, y llevará aún más tiempo llegar al fondo. Con un tobogán de 50 metros de largo (5,74 grados con respecto a la horizontal), se tarda diez segundos, o diez veces más en llegar al fondo en comparación con la caída vertical.

En general, el tiempo necesario para llegar al fondo de una rampa inclinada sin fricción viene dado por$t_\text{slide}=\frac l h t_\text{vert}$, dónde$l$es la longitud de la rampa,$h$es la caída vertical, y$t_\text{vert}$es el tiempo que tarda en caer esa misma distancia vertical.

En tu trabajo has asumido que$a=g$- esto es cierto si la diapositiva es vertical.

Las diapositivas tendrán algún ángulo,$\theta$(p.ej$45^\circ$), lo que significará que la aceleración,$a$es dado por

Tenga en cuenta que$a$será menor que$g$porque el valor de la$sin$plazo será entre$0$y$1$. (excepto en el caso de un tobogán vertical$\theta=90^\circ$y$sin \theta=1$asi que$a=g$).

Pero aún no hemos terminado porque la mayoría de las diapositivas terminan en horizontal, por lo que habrá una curva en la parte inferior de la diapositiva.

Además de las respuestas existentes, vale la pena señalar que el hecho de que un deslizamiento ralentice algo que se desliza hacia abajo es en realidad la forma en que Galileo confirmó que los objetos caen a la misma velocidad independientemente de su masa. Simplemente dejarlos caer no funciona bien porque las cosas caen demasiado rápido en el tiempo, al menos usando la tecnología Renaissance. Así que construyó toboganes en ángulo que ralentizarían la caída, lo que le permitiría obtener mejores mediciones de cuánto tardaban las cosas en caer.

Además, imagina si las cosas no funcionaran de esta manera. Podríamos construir sistemas de viaje muy eficientes construyendo superficies ligeramente inclinadas: digamos, tener diez pies de alto en un extremo y terminar a veinte millas de distancia y cinco pies de alto. Entonces serías capaz de viajar veinte millas en el mismo tiempo que te tomó caer cinco pies.

El tobogán proporciona una fuerza normal para el niño. Esto altera la aceleración del niño en varios puntos del tobogán, lo que afecta el tiempo que tarda en llegar al fondo. El niño ya no cae libremente bajo una aceleración constante y uniforme, sino que sigue los baches. Si el tobogán tiene una forma lo suficientemente complicada, sería difícil encontrar el tiempo que tardará en llegar al fondo debido a esta aceleración neta variable.

Conoces la velocidad final y también sabes (debido a la conservación de la energía potencial cinética + gravitacional) que esta es la velocidad máxima (al menos, siempre que el tobogán permanezca sobre el nivel del suelo). Llame a esta velocidad máxima$v$.

para cualquier momento$t$, considere un (recto, poco profundo para grandes$t$) deslizamiento de longitud mayor que$vt$. Por el teorema del valor medio o simplemente por sentido común, no puedes viajar una distancia mayor que$vt$a tiempo$t$sin en algún momento exceder la velocidad$v$. Así que esta diapositiva en particular toma más tiempo que$t$viajar.

Por lo tanto, el tiempo necesario para viajar por el tobogán no solo es variable según la forma del tobogán, ni siquiera está limitado por arriba.

El error en su trabajo es tomar$a = 9.8$. Esto es cierto cuando se cae, pero no cuando se desliza por cualquier otra forma que no sea un acantilado vertical.