¿Por qué los objetos en reposo se mueven a través del espacio-tiempo a la velocidad de la luz?

Primero, el hecho de que un objeto en reposo tenga energía$mc^2$es una simple cuestión de análisis dimensional. Si acepta que la energía y la masa están relacionadas y sabe que la naturaleza tiene una velocidad natural$c$, después$E=mc^2$es lo más simple que puede escribir que describe esto. La única complicación podría haber sido algún factor numérico frente a$m$.

Ahora, la afirmación sobre viajar en el tiempo 'a la velocidad de la luz' necesita ser matizada. Puede ver fácilmente que no tiene sentido si usa definiciones ordinarias: la velocidad de la luz se mide en 'longitud por tiempo', mientras que una 'velocidad a través del tiempo' se mediría por 'tiempo por tiempo', que es solo un número.

Sin embargo, podemos darle sentido a esta afirmación. Pensamos en un observador como trazando un camino a través del espacio-tiempo. Para denotar un punto en este camino usamos una sola coordenada que llamamos$\tau$. El camino está definido por las funciones$t(\tau)$y$x(\tau)$: para cada valor de$\tau$el observador está en un lugar específico$x$en un momento especifico$t$.

Tenga en cuenta que hasta ahora$\tau$no es tiempo: es solo una coordenada ficticia que usamos para denotar puntos en el camino. Ni siquiera tuve que especificar en qué unidades lo medimos.

digamos que medimos$\tau$en segundos. Ahora podemos definir un 'vector de velocidad'$u$a través del espacio-tiempo, que es la velocidad a la que$t$y$x$cambiar cuando cambiamos$\tau$:

$$u=\left(c \frac{dt}{d\tau},\frac{dx}{d\tau}\right).$$ Fíjate que me colé un $c$allí, para asegurarse $u$tiene unidades de velocidad.

El primer componente de$u$es una buena definición de nuestra velocidad a través del tiempo. El segundo componente es una forma de medir la velocidad a través del espacio, pero no es lo mismo que la velocidad en la que solemos pensar, que es$\frac{dx}{dt}$.

Ahora viene un teorema matemático muy bueno, que dice que siempre podemos asignar valores de$\tau$a puntos en el camino tal que$|u(\tau)|=c$en cada punto. Con esta elección de$\tau$, nuestra 'velocidad'$u$es una constante, igual a la velocidad de la luz: no importa si nos detenemos o nos movemos muy rápido, nuestra velocidad a través del espacio-tiempo es la misma. Si estamos quietos, solo significa que nos estamos 'moviendo más rápido' en la dirección del tiempo. Si nos estamos moviendo muy rápido (según la definición habitual de movimiento...), entonces nuestra velocidad en la dirección del tiempo será menor para compensar. Nuestra única opción es hacia dónde apuntar nuestra velocidad: un poco más en la dirección del tiempo o un poco más en la dirección del espacio.

Creo que esta es una imagen muy hermosa, pero también es un poco engañosa. Porque$\tau$es una coordenada ficticia, hay muchas opciones para ella y todas son igualmente buenas. Podríamos haber elegido$|u(\tau)|=2c$, o$|u(\tau)|$ni siquiera constante. Así que tenga en cuenta que todo esto es una cuestión de convención.

Leí que un objeto en reposo tiene una cantidad de energía tan estupenda,$E=mc^2$porque está efectivamente en movimiento a través del espacio-tiempo a la velocidad de la luz y está viajando a través de la dimensión del tiempo del espacio-tiempo a 1 segundo por segundo a medida que avanza el tiempo.

Esto está mal.

Lo que me preocupa aquí es el hecho de que está viajando a través del espacio-tiempo a la velocidad de la luz. ¿Por qué es a la velocidad de la luz?

no lo es Esta idea parece ser algo que el divulgador Brian Greene ha perpetrado en el mundo. Los objetos no se mueven a través del espacio-tiempo. Los objetos se mueven a través del espacio. Si representas un objeto en el espacio-tiempo, tienes una línea de mundo. La línea del mundo no se mueve a través del espacio-tiempo, simplemente se extiende a través del espacio-tiempo.

La representación de Greene de esto parece provenir de su sentimiento de que debido a que la magnitud del cuatro vector de velocidad de una partícula masiva se normaliza tradicionalmente para tener una magnitud$c$, tiene sentido describir la partícula, a una audiencia no matemática, como "moviéndose a través del espacio-tiempo" en$c$. Esto es simplemente inexacto. Una buena manera de ver que es inexacto es notar que un rayo de luz ni siquiera tiene un cuatro vector que pueda normalizarse de esta manera. Cualquier vector tangente a la línea de universo de un rayo de luz tiene una magnitud de cero, por lo que no puede escalarlo hacia arriba o hacia abajo para que tenga una magnitud de$c$. Por consistencia, Greene presumiblemente tendría que decir que un rayo de luz "se mueve a través del espacio-tiempo" a una velocidad de cero, lo que obviamente es bastante tonto.

La razón por la que normalizamos cuatro vectores de velocidad para partículas masivas es que la longitud de un vector tangente no tiene una interpretación física convincente. Dos vectores tangentes cualesquiera que sean paralelos representan una partícula que se mueve a través del espacio con la misma velocidad. Dado que la longitud no importa, también podríamos establecerla arbitrariamente en algún valor. Bien podríamos establecerlo en 1, que es, por supuesto, el valor de$c$en unidades relativistas. Pero esta normalización es opcional en todos los casos, e imposible para partículas sin masa.

La velocidad total de un objeto a través del espacio-tiempo, su velocidad cuádruple, tiene un componente en cada dimensión del espacio-tiempo (4). Entonces, las cuatro coordenadas que tiene un objeto en el espacio-tiempo son

$$x= \left( \begin{array}{ccc} ct \\ x^{1}(t) \\ x^{2}(t) \\ x^{3}(t)\end{array} \right)$$ Para las tres dimensiones del espacio, vemos que estas son solo las posiciones como funciones del tiempo medido por cualquier observador cuyo marco de referencia estemos operando. En la parte superior, vemos ct en lugar de t . ¿Por qué? Bueno, t se mide en unidades de tiempo, pero lo necesitamos en unidades de longitud para que el concepto de espacio-tiempo tenga algún sentido. Alternativamente, podemos convertir nuestras posiciones en unidades de tiempo dividiendo por c . Esto se hace a menudo en astronomía, porque las distancias son muy grandes (por ejemplo, años luz, segundos luz, etc.).

Ahora, para encontrar las cuatro velocidades, diferenciamos cada término con respecto al tiempo propio. Esto es similar a la forma en que encuentra la velocidad en la física clásica: si la posición de un objeto está dada por 2t, entonces tiene una velocidad de 2. Sin embargo, tenga en cuenta que estamos usando el tiempo adecuado ,$\tau$. El t normal que ha ido apareciendo es el tiempo medido por el observador que está registrando estas coordenadas, mientras que$\tau$es el tiempo medido en un reloj sostenido por nuestro observador en movimiento. Entonces, para encontrar las cuatro velocidades, usamos esto

$$\mathbf U = \frac {dx} {d\tau}$$ Donde x es el vector anterior que contiene todas las coordenadas. Usando el hecho de que el tiempo medido por nuestro observador que está registrando las coordenadas está relacionado con el tiempo propio del observador en movimiento por el factor de Lorentz, podemos escribir $ct = \gamma c\tau$Diferenciando esto con respecto a $\tau$, encontramos que la velocidad en la dirección del tiempo es $c\gamma$. Si nuestro observador 'en movimiento' está en reposo con respecto al que toma las medidas, entonces $\gamma = 1$. Entonces, la velocidad en la dirección del tiempo es igual a c , la velocidad de la luz.

Vemos que para un observador en movimiento,$\gamma$es mayor que uno, lo que resulta en una mayor velocidad a través del tiempo. Esto puede parecer contrario a la intuición, ya que los observadores en movimiento pasan menos tiempo. Sin embargo, una forma intuitiva de pensar en esto es la siguiente: la velocidad a través del espacio es cuánta distancia puede cubrir en una cierta cantidad de tiempo. Entonces, la velocidad a través del tiempo es la cantidad de tiempo que puede transcurrir en el marco de referencia de alguien en cierta cantidad de tiempo adecuado . Un observador que se mueve a una velocidad enorme registrará muy poco tiempo propio, pero un observador con respecto al cual se está moviendo observará que le toma mucho tiempo terminar su viaje. Entonces, en una pequeña cantidad de tiempo propio, nuestro observador 'viajó' una distancia muy grande a través del tiempo de coordenadas del observador que tomó las medidas, por lo tanto, una mayor velocidad a través del tiempo.

Sí, la componente temporal de las cuatro velocidades de un objeto estacionario es$c$. También es correcto que "todo se mueve a la velocidad de la luz a través del espacio-tiempo", esto solo significa que la magnitud de las cuatro velocidades es$c$(o más bien, 1), y su dirección sigue cambiando (tenga en cuenta que la transformación aquí no es realmente una rotación, es un sesgo/impulso, debido a cómo se calcula el producto escalar de Minkowski) a medida que el vector se desliza en una hipérbola invariable ( al igual que las rotaciones se deslizan sobre un círculo invariable). Esto no es una cuestión de convención; sí, puede elegir otras parametrizaciones para la línea de tiempo, pero no satisfacen la agradable propiedad de volverse iguales al tiempo coordinado cuando$v=0$.

Tenga en cuenta que la otra afirmación, que la energía en reposo es una energía cinética a través del tiempo, es incorrecta. Esto es trivialmente obvio, considerando que todo se mueve a$c$a través del espacio-tiempo, y la energía cinética asociada con una velocidad espacial de$c$es infinito.

La energía cinética no se interpreta mejor como "la energía del movimiento" en la relatividad especial, sino como parte del impulso en la dirección del tiempo. Esto te ayuda a darte cuenta de que la energía cinética no rompe la simetría entre el espacio y el tiempo en absoluto, es solo que el momento del tiempo aumenta en una cantidad llamada "energía cinética" con un impulso de Lorentz.

Si define "velocidad a través del espacio-tiempo" como la suma pitagórica de la velocidad a través del tiempo (tasa de tiempo propio para coordinar el tiempo) y la velocidad a través del espacio, es decir$\sqrt{(\dfrac{c\Delta\tau}{\Delta t})^2+(\dfrac{\Delta x}{\Delta t})^2}$, entonces sí, cada objeto en el universo tiene una velocidad de espacio-tiempo de c (la velocidad de la luz) ya que esta suma es igual a c para todos los objetos.

$$\sqrt{(\dfrac{c\Delta\tau}{\Delta t})^2+(\dfrac{\Delta x}{\Delta t})^2}=c$$ (ver prueba a continuación si está interesado)

Entonces, si la velocidad del espacio-tiempo se define de esta manera, entonces sí, todos los objetos, ya sea en reposo o moviéndose a través del espacio, se mueven a través del espacio-tiempo a la velocidad de la luz.

Ahora, muchos comentaristas aquí parecen objetar esta definición de velocidad del espacio-tiempo. Pero las definiciones no son verdaderas o falsas. Las definiciones son útiles o no útiles. Puede decir que no le gusta esta definición de la velocidad del espacio-tiempo, pero no puede decir que sea incorrecta.

Vea el maravilloso libro Relativity Visualized de Lewis Epstein. Explica todo esto muy bien.

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Prueba de la relación anterior,

El intervalo de espacio-tiempo para la relatividad especial viene dado por,

$$c^2\Delta t^2-\Delta x^2=c^2\Delta \tau^2$$ Dónde$\Delta \tau$es el tiempo propio medido por el objeto en movimiento. Así que reorganizando obtenemos, $$c^2\Delta t^2=c^2\Delta \tau^2+\Delta x^2$$ $$c^2=(\dfrac{c\Delta\tau}{\Delta t})^2+(\dfrac{\Delta x}{\Delta t})^2$$ $$c=\sqrt{(\dfrac{c\Delta\tau}{\Delta t})^2+(\dfrac{\Delta x}{\Delta t})^2}$$

La velocidad de una masa a través del espacio-tiempo es

$${\eta}^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d \tau}$$

dónde$d\tau=\frac{dt}{\gamma}$, y por supuesto,$\gamma=\frac {1}{{\sqrt{1-{\frac{v^2}{c^2}}}}}.$Usamos$d\tau$en vez de$dt$, porque esta es una transformación de Lorenz wrt invariante.

Ahora,

$$\eta^0=\frac{dx^0}{d\tau}=\gamma c,$$

asi que

$$\eta^{\mu}=\gamma(c,v_x,v_y,v_z).$$

Resulta que

$$\eta_{\mu}\eta^{\mu}={\gamma}^2(c^2-{v_x}^2-{v_y}^2-{v_z}^2)=c^2,$$

un invariante. Entonces el valor absoluto de$\eta^{\mu}$siempre es igual a c. Si la masa tiene una velocidad (espacial) cero (la masa permanece inmóvil), la velocidad a través del tiempo es$c$, y fotones viajando por el espacio solo con velocidad$c$. Entre estos dos extremos, la velocidad de cuatro consiste en una parte que se mueve a través del tiempo y una parte que se mueve a través del espacio.

Como se explicó en la respuesta anterior, parece que la velocidad del tiempo es mayor cuando la masa viaja por el espacio, pero esto se debe al uso$d\tau$.

Se puede leer en la primera respuesta:

no lo es Esta idea parece ser algo que el divulgador Brian Greene ha perpetrado en el mundo. Los objetos no se mueven a través del espacio-tiempo. Los objetos se mueven a través del espacio. Si representas un objeto en el espacio-tiempo, tienes una línea de mundo. La línea del mundo no se mueve a través del espacio-tiempo, simplemente se extiende a través del espacio-tiempo.

No creo que hayas entendido muy bien a Greene y él no ha perpetrado "el mundo".

Las líneas de palabras "congeladas", Block time , fue un concepto de Einstein y otros ("la distinción entre el pasado, el presente y el futuro es una ilusión obstinadamente persistente" complementada por el comentario de Weyl que se puede leer en la página 101 en 2.7 en el Bloque sección del universo en el enlace al comentario de Weyl que hice) lo que implica que un objeto tampoco puede viajar por el espacio. Una partícula puede viajar tanto a través del espacio como a través del tiempo (tiempo termodinámico). Las velocidades combinadas forman la línea del mundo, que se desarrolla a medida que se desarrolla el universo.