¿Por qué los imanes en forma de esfera hueca no son un monopolo magnético? [cerrado]

Un buen punto de partida para ver que pegar pequeños imanes a una esfera no funciona es ver lo que te da el campo de solo dos imanes opuestos. Un solo imán dipolar tiene un campo que cae como$\frac{1}{r^3}$, mientras que los dos opuestos tienen un campo que muere más rápido, cayendo como$\frac{1}{r^4}$. A medida que agrega más y más imanes (apuntando en diferentes direcciones), cancela sucesivamente más y más del campo (es decir, momentos de mayor orden) y finalmente, en el límite de infinitos imanes diminutos, todos apuntando hacia afuera, la suma de todos los los campos magnéticos se cancelan y, curiosamente, te quedas sin ningún campo magnético, ni dentro ni fuera de la esfera (excepto dentro de los propios imanes).

Editar: una buena manera de pensar en esto es considerar un dipolo magnético como dos monopolos magnéticos muy cerca uno del otro. Entonces, esta esfera de imanes se puede considerar como dos esferas de carga magnética uniforme y signo opuesto. Por el teorema de la capa, no hay campo dentro de una capa uniformemente cargada, y fuera de la capa uniformemente cargada el campo es (en algún sistema de unidades naturales)$\frac{Q}{r^2}-\frac{Q}{r^2}$. El único lugar donde el campo es distinto de cero es entre las capas. si tomamos$r_{out}-r_{in} \rightarrow 0$mientras se mantiene$\frac{Q}{r_{out}-r_{in}}$constante (que mantiene constante el momento dipolar de cada dipolo), este campo también se desvanece.

Otra edición más: me pidieron más aclaraciones, así que lo haré de otra manera:

Primero, está claro que cualquier campo que encontremos debe ser rotacionalmente simétrico, ya que el sistema que hemos establecido tiene simetría esférica. Esto prohíbe la existencia de cualquier campo (usando coordenadas esféricas ) en el$\hat\phi$o$\hat\theta$direcciones (direcciones azimutales o polares). Entonces, el único campo que podemos tener es radial y no puede depender del ángulo:

Ahora, podemos aplicar la ley de Gauss para campos magnéticos (con monopolos magnéticos):

donde el lado izquierdo es una integral de superficie sobre un volumen cerrado, y$Q_m$es la cantidad de carga magnética contenida en su interior. Si usamos un volumen esférico, entonces el lado izquierdo simplifica: (como$\vec B \mathbin{\|} \vec dA$y$\left|\vec B\right|$es constante)

Y por lo tanto el campo magnético total es:

En ausencia de monopolos magnéticos,$Q_m=0$, por lo que esto es cero. Si haces esto y notas un momento de monopolo, significa que hay un monopolo magnético que simplemente se detuvo dentro de tu esfera. No lo pierda, probablemente valga un premio Nobel.