Principio de equivalencia entre un dipolo magnético y un circuito cerrado con corriente eléctrica

Los documentos que debe leer para esta pregunta son Vaidman, Lev. "Torque y fuerza en un dipolo magnético". Soy. J. Phys 58 .10 (1990): 978-983 ( versión sin Paywall ) y Haus, HA y P. Penfield. "Fuerza en un bucle actual". Letras de física A 26.9 (1968): 412-413. (También vale la pena leer las referencias 8 y 9 en el artículo de Vaidman para obtener más contexto). La esencia de la respuesta es esta: si y solo si no hay monopolos magnéticos, los dipolos magnéticos y los bucles de corriente son equivalentes .

Como ha identificado en su punto (1), de hecho hay un problema con el término dipolo magnético . Analicemos el término que comienza con dipolo .

El sistema más simple en electromagnetismo es la carga puntual eléctrica en reposo, que produce una simetría esférica.$1/r$potencial (aquí es más fácil trabajar con el potencial). Esto se llama campo monopolo, y una carga puntual es un monopolo .

Ahora considere dos cargas iguales pero opuestas a una distancia$a$de cada uno. Esto rompe la simetría rotacional por lo que el campo no será esféricamente simétrico, es decir, depende del ángulo. Ahora expande el potencial a distancia.$r \gg a$de los cargos en poderes de$1/r$. Como el electromagnetismo es lineal, la$1/r$los términos son iguales pero opuestos y se cancelan, pero queda un término de orden$1/r^2$. Como el potencial es un escalar, debe tener la forma$\mathbf p \cdot \mathbf r / r^3$dónde$\mathbf p$es un vector llamado momento dipolar. Puedes continuar la expansión; el siguiente término es$Q_{ij} x_i x_j / r^5$donde el tensor$Q_{ij}$es el momento cuadripolar, y así sucesivamente. (Los nombres reflejan el número mínimo de cargas puntuales que necesitas para tener un momento distinto de cero de ese orden: uno para un monopolo, dos para un dipolo, cuatro para un cuadrupolo... Todos los detalles de esta expansión multipolar y para qué sirve están en Jackson, por supuesto.)

Entonces, por un campo dipolar nos referimos a un campo cuyo potencial se parece a$\mathbf p \cdot \mathbf r /r^3$, y su fuente es un dipolo eléctrico . Por supuesto, el campo magnético tiene un potencial vectorial en lugar de un potencial escalar, por lo que por un campo dipolar magnético deberíamos referirnos a uno en el que el potencial vectorial es como$\mathbf A \sim \mathbf m \times \mathbf r / r^3$, y su fuente es un dipolo magnético .

Ahora, una forma de construir un dipolo magnético es por la analogía obvia: tome dos cargas magnéticas, es decir, dos monopolos magnéticos a una pequeña distancia. Bueno, es más fácil decirlo que hacerlo porque nadie ha encontrado monpolos magnéticos . Tendremos que ir con las corrientes, entonces. Desde el$1/r$la expansión es posible solo si el tamaño del sistema es finito y la carga se conserva, tendremos que usar bucles de corriente y, a la inversa, cualquier bucle de corriente será un dipolo magnético.

En este sentido y en este sentido sólo son equivalentes los dipolos magnéticos y los bucles de corriente. Si encontrara algunos monopolos magnéticos y los dispusiera de tal manera que el momento dipolar sea$\mathbf m$, entonces la fuerza sobre el sistema es

(Sin embargo, varios autores calculan erróneamente la fuerza utilizando el modelo de carga magnética y piensan que debe ser cierto para los bucles de corriente, lo que, como lo muestra Vaidman, no es el caso).

Hay una objeción y es que conocemos el espín , el momento magnético intrínseco de partículas como los electrones. No creo que sea obvio si el giro debe tratarse como un dipolo de carga magnética o como un bucle de corriente. Que una partícula elemental sea un circuito de corriente ciertamente parece extraño, pero no es menos extraño pensar en ella como un sistema de monopolos magnéticos. Entonces, uno pensaría que es una pregunta experimental, pero Bohr y Pauli argumentaron en los años 20 que el giro de un electrón individual es bastante inaccesible para experimentar, ver Morrison, Margaret. "Spin: no todo es lo que parece".Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics 38.3 (2007): 529-557 para una explicación). En cualquier experimento con electrones, la fuerza de Lorentz dominaría de todos modos la fuerza del dipolo magnético, por lo que tendría que recurrir a los neutrones, que vienen con otras dificultades. Vaidman analiza esto brevemente.

Sin embargo, en teoría, si la situación se analiza correctamente, es decir, utilizando la transformación de Foldy-Wouthuysen (el artículo original es de Foldy, Leslie L. y Siegfried A. Wouthuysen. "Sobre la teoría de Dirac de las partículas de espín 1/2 y su límite no relativista." Physical Review 78.1 (1950): 29 que es una verdadera joya y debería ser leído por todos los que estudian mecánica cuántica.) se encuentra que el modelo de bucle actual es correcto. Puedes cuadrarlo con la contradicción entre el bucle de corriente y la partícula elemental al darte cuenta de que esto es algo de la mecánica cuántica, y en la mecánica cuántica no tienes que tener partículas puntuales. De hecho, no puedes, por el principio de Heisenberg. El electrón siempre está un poco disperso, y de tal manera que produce un momento dipolar magnético de bucle de corriente.

Sí, es un imán, el tamaño no es importante, solo los polos N y S habituales, dos polos, "di"polos.
Cuando la corriente pasa a través de un solenoide, una bobina cilíndrica de alambre (que en la práctica está cerrada cuando se conecta a una fuente de alimentación de CC), se crea un dipolo magnético, N en un extremo del cilindro S en el otro.
Puede quitar el solenoide y reemplazarlo con el imán del tamaño correcto, el campo magnético sería el mismo. (son equivalentes) No es una analogía, es una equivalencia real.