¿Por qué los electrones en el grafeno se comportan como fermiones de Dirac cerca de los puntos de Dirac?

He estado aprendiendo sobre el grafeno, y recientemente calculé la estructura de bandas usando un modelo de enlace estrecho de vecino más cercano para el π electrones:

ε ( k → ) = ± t 3 + 2 porque ⁡ ( 3 k X 2 − 3 k y 2 ) + 2 porque ⁡ ( 3 k X 2 + 3 k y 2 ) + 2 porque ⁡ ( 3 k X )

Me dijeron que la dispersión del grafeno alrededor de los puntos de Dirac (puntos en k -espacio donde ε ( k → ) = 0 -- estos resultan ser los vértices de la zona de Brillouin) es lineal, y esta linealidad lleva a que la partícula se comporte como un fermión de Dirac. He confirmado parcialmente la linealidad, pero no sé por dónde empezar a verificar la segunda parte.

Wikipedia también menciona lo siguiente:

PR Wallace se dio cuenta ya en 1947 de que la relación E-k es lineal para energías bajas cerca de las seis esquinas de la zona hexagonal bidimensional de Brillouin, lo que lleva a una masa efectiva cero para electrones y huecos. Debido a esta relación de dispersión lineal (o "cónica") a bajas energías, los electrones y los huecos cerca de estos seis puntos, dos de los cuales no son equivalentes, se comportan como partículas relativistas descritas por la ecuación de Dirac para partículas de espín-1/2. Por lo tanto, la los electrones y los huecos se llaman fermiones de Dirac, también llamados graphinos, y las seis esquinas de la zona de Brillouin se llaman puntos de Dirac.

¿Podría alguien explicar cómo un cónico localmente ϵ ( k → ) gráfica conduce a un fermión de Dirac? Todavía no he trabajado con la ecuación de Dirac.

Respuestas (1)

Al calcular la dispersión de electrones, probablemente obtuvo el hamiltoniano diagonalizado en el espacio de momento

H = ∑ k [ C k A † , C k B † ] [ 0 Δ ( k ) Δ † ( k ) 0 ] [ C k A C k B ] .

Si elegiste tu X eje a lo largo de la dirección del zigzag (arXiv: 1004.3396), los dos valles de Dirac no equivalentes son k k = ( k 4 π 3 3 a , 0 ) , k = ± 1 y k − 1 = k ′ , dónde a es la distancia CC. Después Δ ( k ) = − t ( 1 + mi − i k ⋅ a 1 + mi − i k ⋅ a 2 ) , dónde t es el término de salto, y a 1 = ( 3 a / 2 , 3 a / 2 ) y a 2 = ( − 3 a / 2 , 3 a / 2 ) son los vectores de red.

Expansión de Taylor Δ ( k ) hasta términos lineales alrededor de esos dos puntos se obtiene

Δ ( k ) = k 3 t a 2 q X − i 3 t a 2 q y

dónde q es el momento de desplazamiento del k k punto. Promoviendo estos momentos de desplazamiento a los operadores se obtiene el hamiltoniano

H = ℏ v F [ 0 q X − i q y 0 0 q X + i q y 0 0 0 0 0 0 − q X − i q y 0 0 − q X + i q y 0 ]

dónde v F = 3 t a 2 ℏ es la velocidad de Fermi. Esto es en [ Ψ A k , Ψ B k , Ψ A k ′ , Ψ B k ′ ] T base, si reorganiza su base como [ Ψ A k , Ψ B k , Ψ B k ′ , Ψ A k ′ ] T obtienes la forma compacta

H = ℏ v F τ z ⊗ σ ⋅ k

dónde τ z actúa en el espacio del valle. Esto es similar a la ecuación de Dirac-Weyl para partículas relativistas sin masa, donde en lugar de v F obtienes la velocidad de la luz

H = ± ℏ C σ ⋅ k

dónde + denota antineutriones diestros, y − denota neutriones zurdos. Las diferencias son que σ = ( σ X , σ y ) porque el grafeno actúa en el espacio de pseudoespín y σ = ( σ X , σ y , σ z ) para los neutrinos actúa en el espacio de espín real.

Interesante... No entiendo todos los términos aquí, pero tengo en mis manos material que parece ser capaz de explicarlo. Mi problema principal fue que no pude alinear el resultado con la ecuación de Dirac (y no había oído hablar de la ecuación de Dirac-Weyl). ¡Gracias!
¿Por qué los electrones en el grafeno se comportan como fermiones de Dirac cerca de los puntos de Dirac?
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