¿En qué escala de tiempo la emisión de ondas gravitacionales circulariza una órbita?

Todavía no he visto ninguna fórmula agradable en la literatura. Sin embargo, hay algunos con poderes racionales barrocos. Al menos para las masas puntuales, la circularización puede no ocurrir lo suficientemente rápido como para importar, sorprendentemente.

Peters, PC y Mathews, J. (1963). Radiación gravitacional de masas puntuales en una órbita Kepleriana . Physical Review , 131(1), 435. da una fórmula para la pérdida de potencia promedio durante un período de una órbita Kepleriana como

$$\langle P \rangle = \frac{32}{5}\frac{G^4}{c^5}\frac{m_1^2m_2^2(m_1+m_2)}{a^5(1-e^2)^{7/2}}\left(1+\frac{73}{24}e^2+\frac{37}{96}e^4\right ),$$ observando que es equivalente a la fórmula de órbita circular estándar multiplicada por un factor de mejora de $$f(e)=\frac{1+(73/24)e^2+(37/96)e^4}{(1-e^2)^{7/2}}.$$ dónde$f(0.6)\sim 10, f(0.8)\sim 100, f(0.9)\sim 1000$. Entonces, deberíamos esperar que la circularización suceda en una escala de tiempo menor a$1/f(e)$de la escala de tiempo normal de pérdida de energía.

Luego, Peters continuó analizando la tasa de disminución de la excentricidad a lo largo del tiempo en Peters, PC (1964). La radiación gravitatoria y el movimiento de dos masas puntuales . Revisión física , 136(4B), B1224 como

$$\left\langle \frac{de}{dt}\right\rangle = -\frac{304}{15}\frac{G^2}{c^5}\frac{m_1m_2(m_1+m_2)}{a^4(1-c^2)^{5/2}}e\left(1+\frac{121}{304}e^2\right)$$ que se puede combinar con su expresión para$\langle da/dt\rangle$obtener una ecuación para$\langle da/de\rangle$y $$a(e)=\frac{c_0 e^{12/19}}{1-e^2}\left (1+\frac{121}{304}e^2\right )^{870/2299}$$ dónde$c_0$está determinada por la condición inicial.

Un sistema excéntrico pierde mucho momento angular hasta que la excentricidad es$<0.5$y luego las cosas se nivelan, pero para deshacerse del último porcentaje de excentricidad, el eje semi-mayor tiene que encogerse mucho más.

Peters luego calcula la vida útil de un sistema a partir de$a_0,e_0$como

$$T(a_0,e_0)=\frac{12}{19}\frac{c_0^4}{\beta}\int_0^{e_0}\frac{e^{29/19}\left(1+\frac{121}{304}e^2\right )^{1181/2299}}{(1-e^2)^{3/2}} de$$ dónde$\beta=(64/5)(G^4/c^5)m_1m_2(m_1+m_2)$.

El resultado, en comparación con un sistema circular, es que los sistemas inicialmente excéntricos tienen tiempos de vida que en realidad son más cortos, aproximadamente como el$f(e)$factor: irradian tanta energía al estar en órbitas excéntricas que la reducción de la excentricidad no tiene tiempo de "tomar" antes de la caída final.

Sin embargo, esto es todo para masas puntuales. Los efectos de marea también permitirán el giro y la disipación en objetos reales, como en este artículo sobre enanas blancas cerca de agujeros negros . Este artículo numérico descubrió que los pares de agujeros negros giran en espiral sobre solo 9 órbitas con$e\leq 0.8$circularizado por el tiempo de fusión, por lo que el proceso parece muy rápido en los casos más extremos.