¿Por qué la susceptibilidad χ(t)χ(t)\chi(t) es real?

Así que mi pregunta es bastante simple, supongo, y quizás trivial. Se sabe que la susceptibilidad en el dominio de la frecuencia x ( ω ) es complejo, y que las dos partes se pueden relacionar con las relaciones de Kramers-Kronig. Pero la susceptibilidad en el dominio del tiempo, x ( t ) , se dice que es real, según mi libro de texto.

Ahora, sé que en un tipo de marco de respuesta lineal, a menudo escribimos que la densidad de polarización (suprimamos la dependencia espacial y solo hablemos de un punto particular en el espacio) como

PAG ( t ) = ∫ − ∞ ∞ ϵ 0 x ( t − t ′ ) mi ( t ′ ) d t ′

Entonces, en este caso, la susceptibilidad es una función de respuesta de impulso para un sistema invariante en el tiempo.

Además, supongo que solo tendría sentido para PAG ( t ) ser real en sí mismo, como lo es la densidad de momentos dipolares eléctricos, que en sí mismo es solo una medida de la separación de cargas eléctricas positivas y negativas en un sistema. Eso tiene que ser real, seguramente.

Pero luego me confundo un poco. ¿No solemos tomar mi ( t ) ser complejo en nuestros cálculos? Entonces, ¿por qué puede x ( t ) no ser complejo también? Probablemente me estoy perdiendo algún ingrediente muy simple, pero parece que no puedo resolverlo.

No, E(t) nunca es complejo. Se considera complejo después de obtener la susceptibilidad compleja dependiente de la frecuencia, porque facilita las matemáticas. Sin embargo, cuando tomamos el complejo E, solo estamos omitiendo el hecho de que tenemos un complejo E (f) y el complejo conjugado E (-f) que cancelan la parte imaginaria.
@LLlAMnYP Hm, sí, eso es muy cierto, por supuesto. Entonces es una consecuencia muy lógica, siendo real la susceptibilidad en el dominio del tiempo. Realmente no garantiza una respuesta separada, supongo; ¿Qué hace uno típicamente aquí, cierra la pregunta?
No, déjalo ser. Es una cuestión de formalismo, en realidad. Agregaría además, que ni siquiera tomamos mi ( t ) ser complejo después de obtener la parte dependiente de la frecuencia, sino que tomamos la amplitud de la ω -ésima componente de Fourier de la transformada de Fourier mi ( t ) ser distinto de cero. Si sólo consideramos esa parte sin el − ω parte, entonces obtenemos un complejo mi ( t ) .
Lo cual, en retrospectiva, parece lo mismo que escribí en el primer comentario, solo que redactado de manera diferente. Eh.

Respuestas (1)

Todo lo clásico es real en el dominio del tiempo. Sin embargo, notará que las funciones de respuesta implican convoluciones con el campo "entrada". Esto los hace no locales, que es la única forma de lograr la causalidad. En el dominio de Fourier esto equivale a tener una parte compleja. De hecho, tanto la parte real como la compleja DEBEN ser distintas de cero o, de lo contrario, violas la causalidad. Eso es KK. Muchos libros de texto te engañan escribiendo las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo y luego mostrando las relaciones de constitución (p. ej., D = ϵ mi ) en el dominio de la frecuencia para evitar la convolución. Esto causa una confusión interminable. Ver: Leyes de respuesta lineal y causalidad en electrodinámica AJ Yuffa, JA Scales European Journal of Physics 33 (6), 1635. Promocionar E al dominio de Fourier es una conveniencia matemática. Si haces cálculos lineales, entonces todo está bien.

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