Encuentre la velocidad COM con respecto al marco de referencia del laboratorio

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta de tarea.

Supongamos que en el marco de referencia del laboratorio tenemos$2$partículas partícula "$a$está en reposo con total energía$E_a$, mientras que partícula "$b$se va alejando con total energia$E_2$. Si partícula$b$tiene impulso$\vec{p}$, demuestre que el marco de referencia en el que el centro de masa es estático se mueve en la dirección de$\vec{p}$con velocidad

$$u = \frac{c^2 p}{E_a + E_b}$$ con respecto al laboratorio. Además, demuestre que la cantidad de movimiento total del sistema es$0$en el marco de referencia COM.

Mi intento de resolver este problema fue el siguiente. Traté de colocar la partícula en reposo sobre el origen y luego encontrar la velocidad a la que el centro de masa se estaba alejando del origen en el marco de referencia del laboratorio, que correspondería a la velocidad que queremos.

Dado que la partícula$a$está en reposo en el marco de referencia del laboratorio, sabemos que

$$E_a = m_ac^2$$ y del mismo modo, dado que es partible$b$se está moviendo (digamos, con velocidad$\vec{v}$), lo sabemos

$$\begin{align*} E_b &= \gamma m_b c^2\\ p &= \gamma m_b v \end{align*}$$ con$\gamma^{-1} = \sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}$. Ahora, por definición sabemos que la posición del centro de masa (a lo largo de la dirección de$\vec{p}$) será $$\begin{align*} R = \frac{1}{m_a + m_b}\left(m_a(0) + m_b (vt)\right) \end{align*}$$ lo que significaría que $$\begin{align*} u = \frac{R}{t} = \frac{1}{m_a + m_b}m_bv = \frac{1}{\frac{E_a}{c^2} + \frac{E_b}{\gamma c^2}}\frac{p}{\gamma}= \frac{c^2 p}{\gamma E_a + E_b} \end{align*}$$ Y esta es casi la ecuación que quiero, pero no del todo. No estoy seguro de dónde está el error en mi razonamiento, ¿alguien podría decirme qué hice mal? O alternativamente, ¿hay una mejor manera de intentar resolver este problema? ¡Muchas gracias!