¿Por qué la presión de degeneración no puede autoajustarse para resistir el colapso gravitacional?

El problema básico es que para una estrella suficientemente masiva, los electrones se vuelven relativistas. Los detalles finos de este cálculo son bastante complicados, pero puede obtener un sentido cualitativo del argumento de la siguiente manera:

Para fermiones no relativistas a temperatura cero, es posible demostrar que la energía total de$N$partículas en una caja de volumen$V$es proporcional a$N^{5/3}/V^{2/3}$. Esto se puede hacer contando la densidad de estados y usando el hecho de que la energía de una partícula no relativista obedece$E \propto |\vec{p}|^{2}$. Para un volumen esférico de radio$R$, tenemos$R \propto V^{1/3}$, y el número de fermiones presentes es proporcional a la masa. Esto significa que la energía total de los fermiones es proporcional a$M^{5/3}/R^2$. Esta energía es positiva.

Por otro lado, la energía gravitacional de una esfera sólida es negativa y proporcional a$M^2/R$. Esto significa que la energía total es la suma de un negativo$R^{-1}$término y positivo$R^{-2}$término, y tal función tendrá un mínimo en alguna parte. Este será el punto de equilibrio. En radios más pequeños, la energía de la degeneración crece más rápido de lo que disminuye la energía de enlace, empujando el radio de vuelta a valores más grandes. En radios más grandes, ocurre lo contrario. Esto significa que la estrella será estable.

Sin embargo, este argumento no se sostiene para energías arbitrariamente grandes, porque eventualmente la energía de Fermi de los electrones excede la energía en reposo del electrón; en otras palabras, los electrones se vuelven relativistas. Esto cambia la relación entre la energía y el momento de los electrones. Para electrones altamente relativistas, tenemos$E \propto |\vec{p}|$en cambio; y siguiendo los mismos cálculos (despreciando por completo la masa del electrón), encontramos que la energía total de un gas fermión relativista es proporcional a$N^{4/3}/V^{1/3} \propto M^{4/3}/R$.

La energía de enlace gravitacional, por otro lado, sigue siendo negativa y proporcional a$M^2/R$. Esto implica que la energía total es en sí misma proporcional a$1/R$, y no hay un extremo de la energía total del sistema. Dado que la energía del fermión y la energía de enlace siempre aumentan o disminuyen exactamente a la misma velocidad, no habrá un radio de equilibrio estable. La estrella explotará o colapsará sobre sí misma, dependiendo de si gana la energía cinética de los fermiones o la energía de enlace gravitacional.

Una alternativa: a medida que aumenta la masa de la enana blanca, los electrones se vuelven ultrarrelativistas. El equilibrio hidrostático no es posible para la presión de degeneración ultrarrelativista.

El equilibrio hidrostático requiere:

$$\frac{dP}{dr} = - \rho g \ .$$ Trabajando solo con proporcionalidades, presión de degeneración no relativista$\propto \rho^{5/3} \propto M^{5/3} R^{-5}$, dónde$\rho$es densidad,$M$es masa y$R$es radio. Por lo tanto, LHS y RHS de la ecuación de equilibrio hidrostático se pueden escribir $$\begin{eqnarray} M^{5/3} R^{-6} & \propto & (M R^{-3})(M R^{-2}) \\ & \propto & M^2 R^{-5}\ . \end{eqnarray}$$ Para una masa dada, el radio se puede ajustar para encontrar un equilibrio.

Para una estrella más masiva, ese radio de equilibrio es como$R \propto M^{-1/3}$, por lo que una estrella más masiva tiene un radio más pequeño, una densidad más alta; la energía de Fermi del electrón aumenta y los electrones se vuelven ultrarrelativistas.

La presión de degeneración de electrones ultrarrelativista es proporcional a$\rho^{4/3} \propto M^{4/3} R^{-4}$. Insertando esto en la ecuación de equilibrio hidrostático vemos

$$\begin{eqnarray} M^{4/3} R^{-5} & \propto & (M R^{-3})(M R^{-2}) \\ & \propto & M^2 R^{-5}\ , \end{eqnarray}$$ y por lo tanto no hay ajuste posible en el radio que pueda equilibrar esta ecuación. Está satisfecho (pero inestable) por una sola masa: la masa de Chandrasekhar.

Editar:

Tenga en cuenta que este simple argumento es conservador. En la práctica, existe una masa inferior más allá de la cual no es posible una configuración estable, al menos por dos razones.

1. En radios pequeños y densidades altas, las energías de Fermi de los electrones se vuelven lo suficientemente altas como para causar reacciones de captura de electrones (o neutronización). Esto elimina electrones del gas y reduce el índice adiabático por debajo de$4/3$y se produce el colapso (o detonación termonuclear).

2. El tratamiento anterior utiliza un tratamiento newtoniano de equilibrio hidrostático. Esto no es apropiado para enanas blancas muy pequeñas. En su lugar, se debe utilizar la ecuación relativista general de equilibrio hidrostático de Tolman-Oppenheimer-Volkoff. Esto también presenta presión en el lado derecho . Esto significa que el aumento de la presión exige un gradiente de presión cada vez mayor, lo que conduce a la inestabilidad en una densidad finita y en una masa más baja que la masa de Chandrasekhar no relativista general.