¿Por qué la energía correspondiente a la velocidad más probable no es igual a la energía más probable?

Pensemos exactamente en lo que nos dice la distribución de Maxwell-Boltzmann. Si estamos siendo perezosos, podríamos decir que nos da la probabilidad de que una partícula tenga una velocidad$v$, sin embargo, desde$v$puede tomar un rango continuo de valores, la probabilidad de que tome cualquier valor dado es$0$. En cambio, decimos que nos da la probabilidad de que una partícula tenga una velocidad en un rango estrecho.$v$a$v+\mathrm{d}v$. Ahora bien, son las probabilidades, y no las densidades de probabilidad, las que importan físicamente y, por lo tanto, deberían ser independientes de cómo elijamos representarlas. Por lo tanto

$$f(v)\mathrm{d}v = f(E)\mathrm{d}E$$ y no, como podrías haber pensado ingenuamente$f(v)=f(E)$. Esto es importante porque, dado que la relación entre$v$y$E$es no lineal, sus tamaños se distorsionan a medida que hacemos la transformación y$\mathrm{d}v\ne\mathrm{d}E$. Esto significa que, incluso a energías y velocidades correspondientes,$f(v) \ne f(E)$. De hecho, como señala @gautampk, desde$v\propto E^{\frac{1}{2}}$,$\mathrm{d}v\propto \frac{1}{2}\mathrm{d}E$, lo que lleva exactamente a la discrepancia que notó.

Esto está relacionado con un concepto llamado densidad de estados , una función que cuenta el "número de formas" para tener una energía en el rango$E$a$E+\mathrm{d}E$, o alternativamente cuánto la longitud$\mathrm{d}v$ha sido aplastado y estirado. Es el$\sqrt{E}$bit en la distribución de Boltzmann para la energía (junto con algunas de las constantes en el frente). Este es en realidad uno de los raros momentos en los que la mecánica cuántica simplifica la vida. Nuestro gas de partículas es realmente mecánico cuántico si miramos lo suficientemente de cerca y un gas de partículas cuánticas en un volumen finito tiene un conjunto discreto de estados de energía. Entonces, la densidad de estados realmente está contando cuántos de estos estados discretos tienen una energía en un cierto rango.