¿Por qué la ecuación de onda diferencial de EM en dieléctricos utiliza la permitividad y la permeabilidad del vacío?

Question

¿Por qué la ecuación de onda diferencial de EM en dieléctricos utiliza la permitividad y la permeabilidad del vacío?

Óscar Muñoz

He estado leyendo un libro básico para comprender cómo derivar la ecuación de onda de la luz a partir de las ecuaciones de Maxwell, pero esas ecuaciones usan la permitividad y la permeabilidad del vacío.

Los libros suelen decirte que esas constantes deben ser sustituidas por la específica del medio. Pero cuando empiezo a leer cómo derivar el comportamiento de una onda EM en un dieléctrico (isotrópico) comienzan con la ecuación de onda diferencial deducida de Maxwell, pero con las constantes de vacío.

\nabla^{2} mi - ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial mi}{\partial t^{2}} = m_{0} \frac{\partial^{2} PAG}{\partial t^{2}}

$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t^2}=\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{P}}{\partial t^2}$

¿Hay alguna razón para eso? Al final, haciendo algunos pasos con las ecuaciones anteriores para obtener el índice de refracción del dieléctrico, se obtiene como uno de ellos en términos de ε del vacío (¿es correcto?).

\tilde{norte} = \sqrt{1 + \frac{norte {mi}^{2}}{{metro}_{mi} ϵ_{0} (w_{0}^{2} - w^{2} + i γ w)}}

$\tilde{n}=\sqrt{1+\frac{Ne^2}{m_e\epsilon_0(w_0^2-w^2+i\gamma w)}}$

Y también el número de onda (k) será en términos de la velocidad de la luz en el vacío (c) como ak=nw/c, pero si desde el primer momento (en la ecuación de onda diferencial) usamos la permitividad y la permeabilidad de la material, terminaremos con k=nw/v, donde v es la velocidad de la onda en el material (¿no es así?)

Sé que no estoy tomando en cuenta algo (en términos de teoría), pero no puedo descifrar qué es.

usuario191954

¡Hola, bienvenido a Physics SE! No publique fórmulas como imágenes o texto sin formato, sino que use MathJax en su lugar. MathJax es fácil de leer para las personas en todos los dispositivos y puede mostrarse más claro en diferentes tamaños y resoluciones de pantalla. Lo he editado aquí como ejemplo. Mire esta meta publicación de Math SE para obtener un tutorial rápido.

Óscar Muñoz

Genial, sabía que debería haber algo pero no sabía cómo. Muchas gracias

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Jannick · Answer 1

En principio, siempre puede utilizar las ecuaciones de Maxwell de vacío (o microscópicas). No hay necesidad teórica de las ecuaciones macroscópicas de Maxwell (aquellas con las constantes dieléctricas materiales). Sin embargo, la consecuencia es que debe incluir explícitamente todas las cargas dentro de su sistema en su cálculo, por ejemplo, si desea describir la propagación de la luz a través del vidrio, debe incluir todas las cargas positivas y negativas (núcleos y electrones) que forman el cristal.

Esto es bastante engorroso e ineficaz y, por lo tanto, se introdujeron las ecuaciones macroscópicas de Maxwell. Las ecuaciones macroscópicas de Maxwell se basan en la polarización $\mathbf{P}$ y magnetización $\mathbf{M}$ , que describen el comportamiento efectivo de un cobro de cargas totalmente neutral. Esas cargas pueden (y deben ser) descartadas del cálculo explícito y solo ingresan por su Polarización y Magnetización. La ecuacion

\nabla^{2} mi - ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial mi}{\partial t^{2}} = m_{0} \frac{\partial^{2} PAG}{\partial t^{2}}

$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t^2}=\mu_0\frac{\partial^2\mathbf{P}}{\partial t^2}$

por lo tanto, usted dijo que ya es una ecuación macroscópica e incluye implícitamente la permitividad y la permeabilidad relativas. La permitividad entra explícitamente si usamos la típica suposición de que la Polarización del material depende linealmente del campo eléctrico externo. Entonces

PAG = x_{mi} ε_{0} mi

$\mathbf{P} = \chi_e \varepsilon_0 \mathbf{E}$

\nabla^{2} mi - ϵ_{0} m_{0} \frac{\partial mi}{\partial t^{2}} = m_{0} ε_{0} x_{mi} \frac{\partial^{2} mi}{\partial t^{2}}

$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t^2}=\mu_0\varepsilon_0 \chi_e\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$

\nabla^{2} mi - ϵ_{0} m_{0} \underset{ε_{r}}{\underset{⏟}{(1 - x_{mi})}} \frac{\partial mi}{\partial t^{2}} = 0

$\nabla^2\mathbf{E}-\epsilon_0\mu_0\underbrace{(1-\chi_e)}_{\varepsilon_r} \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t^2}=0$

Para concluir: La ecuación macroscópica de Maxwell con la permitividad y la permeabilidad relativas permiten excluir parte del sistema del cálculo explícito al encapsular su comportamiento efectivo dentro de la polarización y la magnetización. En el ejemplo con luz dentro del vidrio, esto significa que podemos usar las ecuaciones de Maxwell como si no hubiera cargas presentes, es decir, establecer $\rho=0,\;\mathbf{j}=0$ . Sólo se modifican la permitividad y la permeabilidad.

¿Por qué la ecuación de onda diferencial de EM en dieléctricos utiliza la permitividad y la permeabilidad del vacío?

Óscar Muñoz

usuario191954

Óscar Muñoz

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Jannick

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