¿Por qué la desviación estándar es el error en la medición singular?

Soy un principiante con el estudio de análisis de datos en Física. Estoy tratando de entender el significado, en el campo de la Física experimental, de la desviación estándar$\sigma$de una serie de datos.

Hay una cosa fundamental sobre$\sigma$que leí pero no pude entender.

en una serie de$N$mediciones de la misma cantidad física (en las mismas condiciones) la desviación estándar$\sigma$de los datos representa el error en la medición singular .

Es decir, debo escribir el resultado de una medición como

Soy consciente de estos hechos sobre$\sigma$(en cuanto a su significado):

• $\sigma=\sqrt{\sum \frac{(x_i-\mu)^2}{N}}$, dónde$\mu$es el "valor verdadero" teórico de la cantidad física medida
• Las flexiones de la distribución gaussiana están en$x_{1,2}=\pm \sigma$

• $[\bar{x}-\sigma,\bar{x}+\sigma]$contiene el$68\%$de medidas, donde$\bar{x}$es el valor medio, que es la mejor aproximación posible de$\mu$

• Ahí está el$68\%$de probabilidad de encontrar$\mu$en$[x_i-\sigma,x_i+\sigma]$y, lo que es equivalente, encontrar$x_i$en$[\mu-\sigma,\mu+\sigma]$

• Ahí está el$99.7\%$de probabilidad de encontrar$\mu$en$[x_i-3\sigma,x_i+3\sigma]$y, lo que es equivalente, encontrar$x_i$en$[\mu-3\sigma,\mu+3\sigma]$

Estoy de acuerdo con estos hechos que provienen de las propiedades de la distribución gaussiana, pero aún no veo por qué.$\sigma$es el error en el dato singular$x_i$.

En otras palabras, no entiendo por qué el intervalo de variación de$x_i$debiera ser$[x_i-\sigma,x_i+\sigma]$.

¿Este intervalo tiene propiedades particulares en términos de probabilidad, vinculadas con el error en el valor singular?